円と直線

質問

Oを原点とする座標平面上に、点A(4,3)を中心としてx軸に接する円Cと、直線l:y=mx(mは実数の定数)がある。Cとlは異なる2点P,Qで交わっている。ただし、(Pの座標)<(Pの座標)とする。

(1)mのとり得る値の範囲を求めよ。
(2)線分OP,OQの長さについて、OQ=3OP-2√2が成り立つとき、
　　(A)線分OPの長さを求めよ。
　　(B)mの値を求めよ。

わからないです。。
(2)の(A)は円の半径だからどんな時でもOQ=OPは成り立つと思うんですが。。

解答は(1):0<m<24/7
(2)の(A):2√2
　　　　　 (B):(4±√14)/3です。

教えてください。お願いします！！

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

考え方は、そんなに面倒ではない。但し、書き込みが面倒なので手抜きして書きこむ。

円Cの方程式は、（x-4）＾2＋（y-3）＾2＝9　‥‥(1)、これが、直線：y-mx＝0　‥‥(2)　と異なる2点で交わるから、点と直線との距離の公式から、｜4m-3｜/√（m＾2＋2）＜3　つまり、0＜m＜24/7。

次に、(1)と(2)を連立し、Ｐ（α、mα）、Ｑ（β、mβ）とすると、（m＾2＋1）x-2（3m＋4）x＋16＝0　より、解と係数から　α＋β＝（3m＋4）/（m＾2＋1）。‥‥(3)　αβ＝16/（m＾2＋1）。‥‥(4)
ＯＰ＝α√（m＾2＋1）‥‥(5)、ＯＱ＝β√（m＾2＋1）‥‥(6).
(4)より　m＾2＋1＝16／αβ　であるから、(5)より　ＯＰ＝4√（α/β）、ＯＱ＝4√（β/α）であるから、これを条件：ＯＱ＝3ＯＰ-2√2に代入すると、√（2αβ）＝6α-2β。
3α-β≧0の下で、2乗すると（β-2α）*（2β-9α）＝0　より、適するものは　β＝2α　‥‥(7)
そこで、(3)と(4)と(7)より、3α＝2（3m＋4）/（m＾2＋1）、　2α＾2＝16/（m＾2＋1）よりαを消すと、3m＾2-8m＋6＝0より、m＝(4±√14)/3。

お礼

返事遅れてすみません。
よくわかりました。
ありがとうございます。
数学の教師か何かやってらっしゃるんですか？

回答No.5

mister_moonlight

＞数学の教師か何かやってらっしゃるんですか？

とんでもない、大学卒業から時間がたっており、しかも卒業は経済学部。それも数学が殆ど必要のない分野が専攻。
謂わば、高校時代の遺産で、高校数学を解いているだけ。
従って、ここでの書き込みは、頭の体操。ｗ

回答No.4

mister_moonlight

＞β＝2αという綺麗な関係が出るから、私は気がついてないが、もつとsimpleな解法があるかもしれない

ＯＱ＝3ＯＰ-2√2より、√（m＾2＋1）（3α-β）＝2√2。
αβ＝16/（m＾2＋1）より、（m＾2＋1）＝8/（3α-β）＾2＝16/（αβ）
分母を払って整理すると、（β-2α）*（2β-9α）＝0。
3α-β≧0より、β＝2α。

こっちの方が、少しはsimpleな解法かな？

回答No.3

mister_moonlight

忘れてた。ｗ

β＝2αから　ＯＰ＝4√（α/β）＝2√2。

それから、mの値が求まった時点で、mが　0＜m＜24/7　を満たす事の確認が必要。

β＝2αという綺麗な関係が出るから、私は気がついてないが、もつとsimpleな解法があるかもしれない。

回答No.1

hakusei

自分は解けていないのですが、Ｏは(0,0)であって円の中心ではないのでＯＱ＝ＯＰは成り立たないと思います・・・