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数列の一般項を求める方法とは?
- 数列の一般項を求める方法について詳しく解説します
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- 分数型の漸化式を用いて、数列の一般項を解く方法について紹介します
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次の数列の問題の解答をお願い致します。 2つの数列{an},{bn}は、a1=5,b1=2で、 漸化式(n=1,2,3,…) an+1=4an-3bn bn+1=2an-bn をみたす。 a1=アイ,b1=ウ である。 数列{cn}をcn=an-bn(n=1,2,3,…)を定めると、 数列{cn}は cn+1=エcn をみたす。 よって、数列{cn}の一般項は cn=オ・カ^n-1 である。 また、pを定数とし、数列{bn}をdn=an-pbn(n=1,2,3,…)と定める。 すべての自然数nについて、dn+1=dnが成り立つのは p=キ/ク のときであり、このとき数列{dn}の一般項は dn=ケ である。 以上より、数列{an},{bn}の一般項は、それぞれ an=コ・サ^n-1-シ bn=ス・セ^n-ソ である。 さらに、数列{anbn}の初項から第n項までの和∑akbkは タ・チ^2n+1-ツテ・ト^n+2+ナニn+ヌネ となる。 アイ=14、ウ=8、エ=2までは解けたのですが、 以降、行き詰っています。
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(1) a(1)=1, a(n+1)=3(an)+5^nのとき、一般項anを求める a(1),a(n+1)=3(an)+5^n ……(1) (1)の両辺を5^(n+1)で割って (an+1)/(5^(n+1)=(3an/(5・5^n))+5n/(5・5^n) bn=an/5とおくと b(n+1)=(3/5)・bn+1/5より変形して b(n+1)-1/2=3/5(bn-1/2) ここで初項と公比をもとめるのですが、どのようにして求めるのですか? そして、このあとどのように求めるのですか? (2) 次の式によって定義されている数列{an}の一般項anを求めるについて a(1)=7, a(n+1)=(1/2)・an+3 初項と公比はどのようにしてもとめるのですか? そして anの形にどのようにしてなるのですか? お願いします
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数列{an}は初項a,項差dの等差数列であり、数列{bn}は初項a,公比rの等比数列である。 ここで、数列{cn}をcn=an+bnを満たすように定めると、 c1=1 c2=3 c3=7であった。 a=1/2であり {an},{bn}の一般項は an=3n-5/2 bn=1/2(-1)^n-1である。 以下、このときである。 [画像参照] 上の問題続きは、画像を添付をしていますので、そちらをご覧になって頂きたいのですが、シス以降答えがでなくて困ってます。 解き方を教えていただけると嬉しいです。 ちなみに、シス,セソ,タ,チツ,テト,ナニ,ヌネ,ノハヒフ=32,14,6,16,13,-1,-3,-300となっております。
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数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか? 【問題】 数列{An}は A1=6 A(n+1)=2An-3n+1 (n=1,2,3…) (1)Bn=An-3n-2(n=1,2,3…)で定められる数列{Bn}が等比数列であることを示せ (2){An}の一般項をもとめよ An=2^(n-1)+3n+2 となりますが A(n+1)=2An-3n+1 のように 漸化式に『数列』と『n』が混在している時 この問題では Bn=An-3n-2 として考える誘導がついていましたが どうしてこのような数列を考えたのでしょうか? これはたまたま上手くいくからなのでしょうか? それとも何か理由があるのでしょうか?
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数列{an}は初項a,項差dの等差数列であり、数列{bn}は初項a,公比rの等比数列である。 ここで、数列{cn}をcn=an+bnを満たすように定めると、 c1=1 c2=3 c3=7であった。 a=1/2であり {an},{bn}の一般項は an=3n-5/2 bn=1/2(-1)^n-1である。(問題文より) 以下、このときである。 [画像参照] 上の問題続きは、画像を添付をしていますので、そちらをご覧になって頂きたいのですが、シス以降答えがでなくて困ってます。 解き方を教えていただけると嬉しいです。 ちなみに、シス,セソ,タ,チツ,テト,ナニ,ヌネ,ノハヒフ=32,14,6,16,13,-1,-3,-300となっております。
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数列{an}は初項1の等差数列であり、a4+a5=16を満たしている。数列{an}の初項から第n項までの和をSnとし、数列{bn}、{cn}をそれぞれbn=1/2(Sn+S(n+2))(n=1,2,3,……)、cn=√(Sn×S(n+2))(n=1,2,3,………)によって定める。 (1)anをnを用いて表せ。→解けました。 an=2n-1です。 (2)Snをnを用いて表せ。また、bn、cnをそれぞれnを用いて表せ。 (3)b1、c1、b2、c2、b3、c3、………、bk、ckと並べた数列がある。この数列の初項から第2m項までの和をmを用いて表せ。ただし、m=1,2,3,………とする。 解答と解説をよろしくお願いします。
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数列{an} を、a(1)=1 , a(n+1)=3an + 2・3^(n+1) (n=1,2,3.........) で定義する。 bn=an/3^n とおくと、数列{bn}は b(1)=[ア] , b(n+1) = [イ]bn + [ウ] (n = 1,2,3......) を満たすので、一般項は[エ]とあらわされる。したがって、数列{an} の一般項は[オ]と表される。 よってlim[n→∞] a(n+1)/an = [カ] 答え ア 1/3 イ 1 ウ 2 エ bn = 2n - 5/3 オ 不明 カ 3 オ と カ の途中式を教えてください。式がわかり辛くてごめんなさい。
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ご回答どうもありがとうございます。 A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n-1){A(n)-1}=C(n-1)というのが分かっていなかったようです。 もやっとした気持ちが晴れました。