数学Ｂ、数列についての質問です

質問

数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど

いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか？

【問題】
数列｛Ａｎ｝は

Ａ1=6
Ａ(ｎ+1)=2Ａｎ-3ｎ+1　(ｎ=1,2,3…)

(1)Ｂｎ=Ａｎ-3ｎ-2(ｎ=1,2,3…)で定められる数列｛Ｂｎ｝が等比数列であることを示せ

(2)｛Ａｎ｝の一般項をもとめよ

Ａｎ=2^(ｎ-1)+3ｎ+2

となりますが

Ａ(ｎ+1)=2Ａｎ-3ｎ+1

のように
漸化式に『数列』と『ｎ』が混在している時

この問題では

Ｂｎ=Ａｎ-3ｎ-2

として考える誘導がついていましたが

どうしてこのような数列を考えたのでしょうか？

これはたまたま上手くいくからなのでしょうか？

それとも何か理由があるのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>どうしてこのような数列を考えたのでしょうか？
>
>これはたまたま上手くいくからなのでしょうか？

ぶっちゃけた話「たまたま」だと思ってもかまいません．
この手のものは
誘導がつくか，帰納法で処理するのが現実的です．
たまたま思いつけば，直接処理すればいいのです．

しかし・・・それなりに計算はあります．
漸化式というか数列ってのは，
隣り合う項との違いが重要なので，
階差をとるのが自然です．
階差を差分ということもあります
＃等比数列の場合は比をとりますが，対数を考えればこれも差です．
＃比よりもまずは差を考えるほうが現実的です．

さて問題の数列
素直に階差をつくると，nが2以上だとかいう細かいことは後回しにして

a_{n+1} = 2 a_n - 3n + 1
a_{n} = 2 a_{n-1} - 3(n-1) + 1

引き算して

a_{n+1} - a_{n} = 2 (a_{n} - a_{n-1}) - 3
B_n = a_{n} - a_{n-1}とおけば
B_{n+1} = 2 B_{n-1} - 3

これなら簡単にとけます．
注意しなければならないのは，nの最初の値です．
階差数列の式には条件がついてますのでそれに注意．
進展がなければこの方針でいけばいいのですが・・・
これだとnの条件の処理が面倒です．
そこでこの新しい「階差数列の漸化式」がなぜ解けるのかと
ことを考えると・・・3nが消えていることが原因です．

だから，3nを消すことを考えます・・・・
となると
a_nの係数が2ですので
もともとの漸化式の両辺から 3n を引くといいのです

a_{n+1} -3n = 2a_{n} - 3n +1 -3n
a_{n+1} -3n = 2 (a_{n} - 3n) + 1

ここでよくみると
左辺が「3n」になってるのがうれしくないです．
3(n+1)であればいいですので，さらに3をひきましょう

a_{n+1} - 3n -3 = 2 (a_{n} - 3n) - 2
a_{n+1} -3(n+1) = 2 (a_{n} - 3n) - 2

これで C_n = a_{n} - 3n とおけば
C_{n+1} = 2 C_{n} - 2
ですから C_n の一般項がわかります
a = 2a - 2
a = 2
を考慮して
C_{n+1} - 2 = 2 (C_{n} - 2)
ですので
B_n = C_{n} -2
とおけば

B_{n+1} = 2 B_{n}

B_{n} = C_{n} -2
= a_{n} - 3n - 2

です．

こういう計算を背後で処理して
問題の誘導が表にでてきているのでしょう．

以上の仕組みを逆手にとれば

a_{n+1} = A a_{n} + Bn + C

というタイプの漸化式は同様に以下のようにとけます．

a_{n+1} - kB(n+1)
= Aa_{n} + Bn + C -kB(n+1)
= Aa_[n} -kABn + C -kB(n+1) + kABn
= A(a_[n} - kBn) + (kA - k + 1)Bn - kB + C

nの係数が0になるように k を決定すれば

B_n = a_{n} - kBn

とおくことで

B_{n+1} = A B_n + (定数)

の形の漸化式になって，これはふつうにとけます．

一般の
a_{n+1} = A a_{n} + f(n)
の形の場合は，当然 f(n) がどういうものかで変わってきますが，
いろいろ考えてみると面白いかもしれません．
f(n)がnの多項式くらいなら
解けるのかもしれません．

お礼

返事が遅れてすみません

わかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

a[n+1] = a[n]・c + f(n) というタイプの漸化式の場合、
初項は無視して、何かひとつ
g(n+1) = g(n)・c + f(n) となる g( ) を見つければ、
辺々引き算して
a[n+1] - g(n+1) = { a[n] - g(n) }・c となります。
g( ) を探す時点で、a[1] = g(1) である必要はありません。
a[n] - g(n) が等比数列と判って
a[n] - g(n) = { a[1] - g(1) }・c^(n-1) と解けるので、
これに a[1] の値を代入すれば完了です。
このようなやりかたを、「特殊解を用いて非斉次漸化式を
斉次化する」と言います。
たまたまというか、ひらめきによって g( ) を発見しなくては
ならないので、いつでも使えるとは限りませんが、
g( ) を思いついたときには、便利に使うことができます。
質問の誘導は、g(n) = 3n+2 が使えるよ …と教えているのです。

お礼

返事が遅れてすみません

ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

Ａ(ｎ+1)=2Ａｎ-3ｎ+1

このような問題は、階差数列を求めて解くのが一般的です。

Ｂｎ=Ａ(ｎ+1)-Ａｎ
と置けば、
Ｂ(ｎ+1)=Ａ(ｎ+2)-Ａ(ｎ+1)
=2Ａ(ｎ+1)-3(ｎ+1)+1-(2Ａｎ-3ｎ+1)
=2Ａ(ｎ+1)-2Ａｎ-3
=2Ｂｎ-3

さらに、
Ｃｎ=Ｂ(ｎ+1)-Ｂｎ
と置けば、
Ｃ(ｎ+1)=Ｂ(ｎ+2)-Ｂ(ｎ+1)
=2Ｂ(ｎ+1)-3-(2Ｂｎ-3)
=2Ｂ(ｎ+1)-2Ｂｎ
=2Ｃｎ

これで等比数列になりました。

ＣｎをＡｎで表すと、
Ｃｎ=Ｂ(ｎ+1)-Ｂｎ
=Ａ(ｎ+2)-Ａ(ｎ+1)-Ａ(ｎ+1)+Ａｎ
=2Ａ(ｎ+1)-3(ｎ+1)+1-2Ａ(ｎ+1)+Ａｎ
=Ａｎ-3ｎ-2

となって、質問の式が出てきます。

お礼

返事が遅れてすみません。

ありがとうございます