２次方程式の解き方

質問

数学初心者のものです。　
このような二次方程式があり解き方がわかりません。

1行目 4＝6＋x^2-2√6x・1/√2
2行目　x^2-2√3x+2＝0
3行目　x＝√3±1　(答え)

2行目の x^2-2√3x+2＝0　の√3は1行目の√6と√2が約分された結果は分かりますが、
左辺から右辺へまた右辺から左辺へ移行する場合、-の
場合は+、+の場合は-になると思っていたのですが、2行目のx^2-2が x^2+2 にならなことや
また1行目の4＝6の、4と6は2行目の+2が6-4の結果である場合このような移行での
規則も分からないしだいです。

x^2-4x-12＝0　場合、たすきがけの因数分解
を利用して(x-6)(x+2)=0 　答え　x=6または-2　は理解でき、その観点からしても
2行目　x^2-2√3x+2＝0　のように√を含むと3行目　x＝√3±1　が導けないです。

ご教授または、このような２次方程式の分かりやすいサイトがあれば教えてください。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

>2行目のx^2-2が x^2+2 にならなことや
また1行目の4＝6の、4と6は2行目の+2が6-4の結果である場合このような移行での
規則も分からないしだいです。

単純に考えれば良いのでは！ 移項ではなく「両辺から同じ数「４」を引く」と考えれば
左辺：4-4=0
右辺：6-4=2

>2行目　x^2-2√3x+2＝0　のように√を含むと3行目　x＝√3±1　が導けないです。
２次方程式の解の公式「xの１次の係数が2倍の形」を使えば
b=-√3,√(b^2-ac)=√(3-2)=1なので
x=(-b±√(b^2-ac)/a=(√3±1)/1=√3±1
が出てきます。

解の公式を使っていけないなら
x^2-2√3x+2＝0
(x-√3)^2-3+2=0
(x-√3)^2-1=0
(x-√3)^2=1
(x-√3)=±1
∴ x=√3±1

お礼

＞単純に考えれば良いのでは！ 移項ではなく「両辺から同じ数「４」を引く」と考えれば
左辺：4-4=0
右辺：6-4=2

両辺から同じ数が引けるのですね。知りませんでした。
これで2行目がすっきりと理解できました。

＞x^2-2√3x+2＝0
(x-√3)^2-3+2=0

部分の因数分解は(a-b)^2=a^2-2ab-b^2
このあたりを再度確認して勉強してゆきたいと思います。

回答No.3

asuncion

4＝6＋x^2-2√6x・1/√2
で、4を右辺に移項し、xの1次の係数を約分すると、
0=2+x^2-2√3xとなりますね。

次に、左右両辺をそっくり入れ替えて、xの次数を降順にすると
x^2-2√3x+2=0
となり、2行目の結果になります。

質問者さんは、移項と左右両辺の入れ替えとがゴッチャになっているようです。

この方程式の解を求める際、因数分解は使いづらそうです。
こういう場合は、解の公式に当てはめるのがいいと思います。

x=(2√3±√((2√3)^2-4*1*2))/2
から、
x=(2√3±2)/2
となり、
x=√3±1
となります。

お礼

＞移項と左右両辺の入れ替えとがゴッチャ
まったくこのとおりでした。

1.　移行後の約分
2.　そっくり左右入れ替え
3.　xの次数を降順

順序だてた処理の意識を持つようにしてゆきます。
ありがとうございました。

回答No.2

Quattro99

1行目から2行目へ変形する途中のどの段階ででもいいですけど、右辺と左辺をひっくり返しています。
1行目の左辺の4を移行して右辺を整理して0=x^2-2√3x+2としてからひっくり返してもいいし、いきなりひっくり返して6＋x^2-2√6x・1/√2=4としてから、右辺の4を移行して左辺を整理してもかまいません。

2行目から3行目は、それを書いた人がどのようにして求めたのかは正確にはわかりません。
平方完成して解いたのかも知れないし、二次方程式の解の公式を使ったのかも知れません。
あるいは、たすき掛けかも知れません。
たすき掛けなら、掛けて2、足して2√3の組み合わせを考えなければなりませんが、そこで和と差の積は二乗の差というのを使います。具体的には(√3)+1と(√3)-1は√3と1の和と差ですから掛け合わせれば二乗の差である3-1=2となります。これでうまい具合に掛けて2となります。そして更にうまい具合に足せば2√3ですから、たすき掛けの完成です。
慣れれば見つけられるのではないかと思います。というのは、積は2という整数で、和は2√3という√が出てくる数だからです。和に√がありますから足し合わせる数にも√があるはずです。そうすると√がある数を掛け合わせて整数にならねばならず、そこで2乗の差を利用するのではないかと気づくからです。

お礼

＞(√3)+1と(√3)-1は√3と1の和と差ですから掛け合わせれば二乗の差である3-1=2となります。
3-1=2　勉強になり、ルート演算が迅速できる訓練が必要と感じました。
足して2√3　は√3+√3　となり　互いに√3を含む積が整数になる判断が理解
できました。
ありがとうございました。

回答No.1

Gintaka

まず
1行目　4＝6＋x＾2‐2√6x・1/√2
2行目　x＾2‐2√3x＋2＝0
についてです。

これは簡単で、例えば　5x＝15　という式を思い浮かべてください。
この式は　15＝5x　ともいえますよね？
即ち、左辺も右辺も入れ替えると、符号は変わらないのです。
だから1行目の左辺　4　と右辺　6＋x＾2・・・　を入れ替えて計算すれば2行目の式が得られるはずです。

また、2行目から3行目にかけては少し難しいです。
2行目の式のように「たすきがけ」が難しい場合、『解の公式』というのを使います。
この公式は
　ax＾2＋bx＋c＝0　の解は　x＝｛－b±（√b＾2－4ac）｝/2a　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　というふうに求められるというものです。
だからこの公式に当てはめれば3行目も得られるはずです。
表記上変な形になっていますが、 b＾2－4ac　は全て√の中です。さらに、2aで全て割るという意味であって、本来は括弧はいりません。表記上ご了承ください。

ちなみに、解の公式にはもう一つのパターンがありますが、それは慣れてから使ってくださいね。

お礼

5x＝15と15＝5x　同じということを思い浮かべれば、
両辺丸ごととしての入れ替えをすれば符号の変動を意識することなく
　できることに気づきました。
　因数分解が難しければ解の公式を利用してゆきます。
　ありがとうございました。