ベクトル場（発散と回転）

質問

ベクトル場（電場）について、
div（発散）は電場の湧き出しを探す。
rot(回転）は電場の渦を見つける。
と言われました。・・・が、計算結果の見方が分かりません。どのように見ればいいのでしょうか？
m( _ _ )mおねがいします。

また、原理の説明があれば教えて欲しいです。（できれば電場の説明で。）
m( _ _ )mおねがいします。

回答No.1

namihei_115 · ベストアンサー

「計算結果の見方」の計算結果とは何かが良く分かりませんが，物理的な意味を解説します．divとrotの公式を目の前において読んで下さい．

divE=∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y =∂Ez/∂zですね．（１）

まずｘ成分だけ考えます．

x軸に向いたベクトルA（Aはx成分しか持っていない）を考えます．x軸上のある点pのすぐ左側のベクトルの大きさをA-， 右側の大きさをA+とすると，ある点にはA+とA-の差を生むだけの何かソースがあることになります．Aが電場の場合このソースは電荷です．A+とA-を観測する点をpに限りなく近づけていったときの差はAのx成分のx微分で表せます．このため，p点に何か源泉があり，そこからベクトルAが湧き出ていることを表現していますので，divはその点における湧出あるいは発散と言われます．

ところで，ベクトルがx軸に向いていない一般的な場合（x,y,z成分を持つ），x成分が増えたからといって，必ずしもそこに源泉があるとは限りません．例えばベクトルが回転した場合です．z軸の周りに回転した場合はx成分は増加してもy成分が減少しているわけで，ベクトルの大きさは変わっていないことになります．このため，x,y,zの３成分をそれぞれ微分して，加えることでその点に湧出点があるかどうかを計算できます．

次はrotです．

rotE=ix(∂Ez/∂y－∂Ey/∂z)＋・・・ですね．（２）

ixはx方向の単位ベクトルです．

イメージしやすいようrotEのz成分を考えます．
iz(∂Ey/∂x－∂Ex/∂y)ですね．（３）

xy平面を考えて，そこにy方向に川が流れていることをイメージしてください．そして川の中に水車が軸をz方向に向けて置かれていると思ってください．（水車はxy面内で回転します）

川の流れが均一であれば，水車は回りません．
水車の右側と左側で流れの速さが違うとすると，水車は回ります．流れの差が大きいほど回転は速くなります．すなわち，水車の軸の左右の流れの差が大きいほど（Eyのx微分が大きいほど）水車は速く回ります．

今度は海のようなところに水車が軸をz軸に向けて置かれていることを想像してください．水車の回る速さは流れのy成分のx微分とx成分のy微分の差になります．これはまさに（３）式の表すところです．

電磁場の場合は３次元空間ですから，水車の軸もx,y,zと3軸あり，それぞれが上と同じように計算できます．そして，それらを合成したものがその点における場の回転を表すことになります．
上記の水の流れを電場の強さだと思えばそのまま当てはまります．

お礼

とても分かりやすい説明をありがとうございました。
これを参考にもう少しじっくりと考えてみたいと思います。
またよろしくおねがいしますm( _ _ )m

回答No.2

First_Noel

＞div（発散）は電場の湧き出しを探す。

電気力線が出たり入ったりする場合，０でなくなります．
アナロジーでは，お風呂は水道を止めて栓をしていれば
ｄｉｖは０ですが，水道を入れたり栓を抜いたりすると
ｄｉｖが０でなくなります．

＞rot(回転）は電場の渦を見つける。

大変勘違いしやすいところですが，「回転」と「渦」とは
全く別物なので御注意を！
よく，「葉っぱに乗ったアリが目を回すか否か？」で例えられます．
水流のアナロジーで言えば，
「回転」では，内側でも外側でも角運動量が同じなのに対し，
「渦」ではそれが異なる結果内側ほど早く回っているように見えます．
（渦の例・・・銀河系の回転によって出来る腕の感じ．）
電場の場合，電流が流れていると（難しいところですが），
その周囲に磁場がぐるぐると「回転」している（磁力線がある），
と言うイメージです．

お礼

イメージ的には分かりましたが、結論がよく分かりません。rotは渦ではなく回転を探すってことですか？
↓を見ながら考えて見ます。どうもありがとうございました。