この整数問題を解説してください。

質問

a,b,c,dを正の整数とする。２つの複素数z=a+bi , w=c+diが、
w^2*z=1+18iをみたすとき、a,b,c,dを求めよ。

解答は画像のようになるらしいのですが（途中まで）、赤く囲んだところで
(a,c,d) = (1,4,1)や(1,5,1)
などが候補に挙がっていないのがなぜか分かりません。
教えていただけませんか？
回答よろしくお願いします。

回答No.10

B-juggler · ベストアンサー

はい、Ｎｏ．９(o｀・ω・)ゞデシ!!

ゴメン　（２）は書き間違えた　訂正してお詫び。ｍ（＿　＿）ｍ

一箇所、流れで

＞（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）　なので　≠１　だね。

＞からが分かりません

（ｃ＾２　－ｄ＾２）≠１　ですね。

（ｃ＋ｄ）×（ｃ－ｄ）　が１になるためには、

（ｃ、ｄ）＝（１，０）か（０，１）しかない。

正の整数には　０　は入っていないんだと思うけど。

　＃高校までと、大学とで違うので、ちょっと微妙だけど。

この後は　（３）式から

（ｃ＾２　－ｄ＾２）＝３しかありえないので、

　＃奇数。

　＃（ａ＋ｂ）＝５　（ａ－ｂ）＝１　なので　

　＃５（ｃ＾２　－ｄ＾２）　＋　２ｃｄ　＝１９とできるので

　＃（ｃ＾２　－ｄ＾２）＜４　だから。

代入して計算すると、

５×３　＋　２ｃｄ　＝１９

２ｃｄ＝　４　　従って　ｃｄ＝２　

２＝１×２　しかありえないので、　（ｃ，ｄ）＝（１，２）　ｏｒ（２，１）

ｃ＞ｄ　より　（ｃ、ｄ）＝（２，１）

　＃検算で　ｃ＾２＝４　ｄ＾２＝１　　（ｃ＾２　－ｄ＾２）＝３だね

後半の流れは多分ダイジョウブだと思うけど。

ａ＜ｂ　のときに解があるかだけど、

「ａｃｄ≦８　のシバリ」

このシバリが結構重たくて（こういう表現は面白いんだけどね＾＾；）

ａ＝１は取れるので　（ａ＜ｂ）　、ｃｄ≦８までいける。

（ｃ＾２　－　ｄ＾２）＝（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）　が奇数なので

（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）＝（奇数）×（奇数）

（ｃ、ｄ）は　どちらかが偶数で、どちらかが奇数。　ｃｄ≦８

ｃ＞ｄの３つ条件があって、この条件を満たすのは、

（ｃ、ｄ）＝（２，１）、（４，１）、（６，１）、（３，２）

この４つだけど、（２，１）の時には　もう解があるので、ほかにはない！
　＃一意性といいます。

だから実質３つなんだけど。

（ｉ）ｃｄの最大で　ｃｄ＝６　　（ｃ＾２－ｄ＾２）は　３５　か　１　だね

（３）式を見直すんだけど、

ａ＝１としてますから　（１＋ｂ）×３５　＋　１２（１－ｂ）　＝　１９

一目こうなりそうなｂはないね。

（１＋ｂ）×１　＋　１２（１－ｂ）　＝１９

（１＋ｂ）×１　＝１９－　１２（１－ｂ）　こうすれば

ｂ＝１しかありえないから、成立しないね。

（ｉｉ）　ｃｄ＝２　の時は　ｃ＾２　－ｄ＾２　＝１　だね

（３）式に入れると、

（１＋ｂ）×１　＋４（１－ｂ）＝１９

５－３ｂ＝１９　これもない。

（ｉｉｉ）ｃｄ＝４　のとき　ｃ＾２　－　ｄ＾２　＝１５だね

（１＋ｂ）×１５　＋　８（１－ｂ）　＝１９

２３＋７ｂ＝１９　ないね　＾＾；

（ｉｖ）　ここまでやってしまうと終わりだけど。

ａ＝３　としておくと、ａｃｄ≦８　のシバリで

ｃｄ≦２　なんですよね・・・。　（つまり　ｃｄ＝２ね）

ｃ＾２－　ｄ＾２　＝１　にしかできないから、

（３＋ｂ）×１　＋４（３－ｂ）＝１９

これもやはり成立しないね。

ということで、ａ＜ｂ　の時には　解がない。

となる気がする＾＾；

　＃計算が違うかもしれないんだけど。多分ダイジョウブだと思うんだけど。

ぜんぶやったつもりだけど、抜けてるかもしれない。

一応ね、　一回でてきたけど　「一意性」というのがあって、

「とある式を満たす整数は一組しかない！」って言うことなんだけど、

たまに崩れることあるから、ましてこの場合は虚数が絡んでいるから

なおさら気をつけた方がいいと思うけど、

多分これ以外に解はないと思うけど。

　８０％～９０％くらいは自信があるかな？

考え方が分かってもらえたらありがたいヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

漠然としているけど結構、条件で絞れるよね♪

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

理解することが出来ました！
回答ありがとうございました。
分からなかったところ以外は、一応理解できたと思います。

一意性という言葉は、発散と収束の時にどこかで聞いたような聞いていないような・・・。
調べてみようと思います。
長々とありがとうございました。

回答No.9

B-juggler

はいこんばんは。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

そういうことだと思うのですが、ついでに（失礼！）、

一つ確認をしてもらってもいいですか？

赤の候補を無視して、ｂを考えた解き方です。

ａ（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　－　２ｂｃｄ　＝　１　　（１）

ｂ（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　－　２ａｃｄ　＝１８　　（２）

ここから　（１）＋（２）

整理すると　（ちょっとゴメン計算危ないから確認よろしくお願いします）
　　ｍ（＿　＿）ｍ

（ａ＋ｂ）（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　＋　２ｃｄ（ａ－ｂ）＝１９　（３）

こうしておいて、それぞれの奇数偶数を取っていきます。

（１）から、ａと（ｃ＾２　-　ｄ＾２）は　奇数。

　＃２ｂｃｄ　がどうやっても偶数だから　ａ（ｃ＾２　-　ｄ＾２）が奇数
　＃（奇数）×（奇数）しかないから。

（２）から　ｂは偶数。

　＃　（ｃ＾２　-　ｄ＾２）が奇数と見えているので。

ａｃｄ≦８だから、ａ＝１，３　とできます。

　★ここが抜けているような気もします。

　★仮にａ＝５　でも　ｃｄ＝２ができない。　ｃ＝ｄ＝１しかダメ。
　　＃そうすると、（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝０になるね。
　　＃（１）も（２）もダメです＞＜

（３）　で　（ａ－ｂ）　が出ているけど、　ｂ＞ａ　はないと思うけど、

あるのかな？　ここを聞いていてもらえると助かります。

　＃おそらくないと思うのだけれど。

ａ＞ｂ　としておくと、　ａ＝１はありえない。　ｂが偶数だから。

ａ＝３　ｂ＝２　を考えて終わりだと思うんだけど？？

入れていったほうが速いと思うんだ＾＾：

　＃未定定数法っていうのもあるけど、これぐらいだったら入れたほうが速い。
　＃代入法ね。

ａ＝３，ｂ＝２　のとき

（３）式は

５（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　＋２ｃｄ＝１９

（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）　なので　≠１　だね。

　＃足したものと引いたものの積が等しい。０が入らないとダメだね。

ここでは　（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＜４　なので　１か３だけど　３しかない。

５（ｃ＾２　－　ｄ＾２）　＋２ｃｄ＝　１５＋２ｃｄ＝１９

ｃｄ＝２　　

２=１×２　とできるので（としかできないので）　ｃ＞ｄより　ｃ＝２　ｄ＝１

　＃（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝３　ね。

（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）　＝　（３，２，２，１）　，，

多分これしかないような気がする。

一応念のため。
（ａ，ｂ）＝（５，２）、（５，４）　のときは解なし。

みたらすぐ分かるんだけど＾＾；

（ａ＋ｂ）≧７　だから　（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝３　とできないね。

ａ＜ｂ　のときに解があるのか、ちょっと自信はないです。

　＃（ａ＋ｂ）も大きくなるし、（ａ－ｂ）もマイナスで大きくなる
　＃該当する　ｃｄ　が存在しない　気がするんだけどね・・・。

ａ＝１，３のときをざっとみても、ないと思うんだけど。

いやあってもいいんだけど＾＾；

どっちが楽だろうか？　それだけなのかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

補足で書き忘れました；
a < bの時の考え方がいまいちわかりません・・・。
具体的に言うと、どのような感覚でそう感じるかが分かりません。

補足

回答ありがとうございました。

(2)の式は、
ｂ（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　－　２ａｃｄ　＝１８
ではなく
ｂ（ｃ＾２　-　ｄ＾２）　+　２ａｃｄ　＝１８
でいいんですよね？（それ以降はあっているので支障はないと。）
b > aのついてはピンポイントで先生に聞くことはできないので確認は難しいです。
解答作った人知りませんし・・・。

あと、

（ｃ＾２　-　ｄ＾２）＝（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）　なので　≠１　だね。

からが分かりません；
何が≠　1　なのでしょうか？
もう少し詳しくお願いします。
それよりも前までは分かりました！
そしてこっちの方が楽ですね・・・。

補足よろしくお願いします。

回答No.8

B-juggler

は～いこんばんは。Ｎｏ．１，７(o｀・ω・)ゞデシ!!

えっとね、少し計算間違いが見つかったので、ｂを入れたのはもうちょっと待ってね。

これはいいとして、

σ(・・*)の言いたいことは伝わっているけれど、何故ないか？

これもちょこっと言ってはいるんだけど・・・。

まぁ、いいや。えっと・・・。

全部きれいに書きますね。　解答を作った人間ではないので、明らかでないとこともあるけれど。

おそらくでね。　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

これこれこういう候補が考えられます。

こう書いてありますね。「これで全てです」とは書いてないですね。

「他のものも考えられますよ」とも書いてない。

これだけでしかないと思うよ♪

この段階でこういう風に、上げていくとキリがないよね。

なので適当なところで止めたんだと思うよ～。

　＃それぐらいしか考えられない。

ａの条件とかを入れているのかとも思ったけど、その言及がないので。

何故書かなかったか！は、解答を作った人にしかわからないけれど、

おそらくの真意は、「こういう候補が考えられます」と書き忘れたか、

「他にもあるけれど、以下省略」　とでも書いておくところを書き忘れた。

こういうことだと思います。

この段階では、（１，４，１）（１，５，１）はもちろん入るわけで、

書き損なっているだけだと思うよ～　ヽ(;´Д｀)ノ

一応こういう邪推は立つかもしれない。

（ｃ＾２　－ｄ＾２）　が出てきますね。

　＃当然　（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）　と因数分解して、

　＃ｃ＾２　－ｄ＾２　＝９　のとき

　＃９＝１×９＝３×３　として、　（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）に当てはめる。

　＃これは　３×３は成立しないよね。　１×９にしかならない。

　＃で、ｃ＝５、ｄ＝４　とできるね。

多分ここだと思うけどね。（ｃ－ｄ）　が　大きいと、因数分解のときに

邪魔になる可能性があるのね。　（ｃ－ｄ）＝２　位だとそうでもないけど、

（ｃ－ｄ）≧３　とかになると、　大きい数字になるよね、ｃ＾２　－ｄ＾２　は。

これが頭にあるんじゃないかなぁ？　解答者の。

そんな気はするけど。まぁ分からないけれど。

　＃これはこの解答書いた人にしかわからないよ　ヽ（・∀・）ノ　何度目だ！

気持ちの悪さが残る模範解答だね。

解答を作った人にしかわからないことを、そのままのっけているからじゃないかな？

あまり気にしない方がいいと思うよ。

ｂをこの段階で入れる計算は、虚数の成分間違えていてね＾＾；

　＃計算間違いはしょっちゅう＾＾；　抽象的な数学が専門なんで＾＾；
　＃　開き直るな！　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

これで答えになっているかは分からないけど。

どっち道もう一回上げると思うから。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

再三にわたる回答ありがとうございます。
やはり、模範解答が「模範」でない。ということでしょうか(笑)；
他の方たちもそのように考えているようですので、模範解答のミスということで結論付けました。

そうですよね、解答を作った人しか分かりませんよね・・・。
これ塾のテキストなので、修正・加筆を求めてみます。

回答No.7

B-juggler

Ｎｏ．１です。

うん、だから途中でしょう？　この段階で　ｂ　を無視している回答って

どうなんだろう？　という疑問。　を上げただけ。

丸３　だっけかな　式　の中に　ｂ　は含まれているんだから、

ここで入れないほうが不思議に感じるんですよ。

この解答でＯＫとするのなら、全部見せてください。

それから判断したいです。おそらくこの後ｂを出していく過程で

どんどん選択肢が狭まっていくはずなんですよ。

だったらここでやって置いていいのではないか？　という疑問。

普通に　この段階（ａ，ｃ，ｄの候補を挙げる）で、ｂを

入れていったほうが楽に感じるんだけど、どうだろう？

ざっとしか計算してないから、もう一回ちゃんと出してみよう。

できたら上げてみます。

これは一般論。　模試とかそういう類だよね？

だとすると、「この問題はこのやり方でいい！」というような解答もあるんですよ。

この方法で全部できるとは思わないほうがいいかもよ。

解き方を覚えるのは少し危険なんですね。

　＃実はそういう学生はたくさんいましたよ。
　＃σ(・・*)あれね、体壊して廃業に近いけど
　＃代数学の非常勤講師ね。ゲーム理論なんかが本域だけど。

この解答を絶対とするんじゃなくてね、この段階でｂも含ませてみる！

やり方をやってみようよ。σ(・・*)もやってみる。

こういうのは結構あるから気をつけておいたほうがいいかも？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

再びの回答ありがとうございました。
やはり、私の質問の目的をくみ取っていただけていないようです。

そもそも、私が疑問に思ったことは、
「"この模範解答の解法"で、"ここまでの段階"で、なぜ候補となっていいものが候補に挙がっていないのか？」
の一点にありますので、

写真の解答が途中であること、　ｂ　を候補に挙げる段階でまだ考慮していない（無視している）こと、候補を挙げる段階で　ｂ　を考慮したほうが楽だということ、この解法で他の問題もうまくいく保証はないこと。
言っていることはもっともだと思いますし、確かにそうなんですが・・・
なんといいますか、そういうことの言及を求めているのではないという点をくみ取っていただけないでしょうか？

それを考慮したうえで、よろしければその返答を、回答していただけないでしょうか？

回答No.6

naniwacchi

#2です。
この解答は、謎が多いですね。＾＾；

(5式)をみると、
a(c^2- d^2)＝ 1+ 2bcd

この右辺は奇数になっています。
つまり、a, c, dの組合せは、左辺も奇数にならなければいけません。
すると、まず aは奇数に限られます。

そして、c^2- d^2も奇数にならなければならないので、
cと dは、偶数と奇数の組合せとならなければなりません。

cか dのどちらかが偶数になるので、
2≦ acd≦ 8の不等式は
acd＝ 2, 4, 6, 8の 4とおりだけを考えることになります。

としたところで、解答の組合せとはまた違いますね・・・
やはり、何か抜け落ちているような気がします。

ちなみに、c^2- d^2が奇数になるので、(4式)から bは偶数になることがいえますね。

お礼

偶数、奇数の絞り込みもやってみましたが、やはり候補に足りないのがありました；

模範解答のミス、もしくは省略。というふうに結論づけました。
他のやり方でもやってみようと思います。
回答ありがとうございました。

回答No.5

mister_moonlight

＞しかし、なぜ候補に挙がっていないのか？それが今一つ分かりません。

確かにその通り。
例えば　ac＝4の時は、候補であることは間違いない。候補を列挙してるんだから、書き忘れ、って事かな？
その時点では、必要条件を求めているに過ぎないんだから。
bの値を求めるのは、その後だしね。
模範解答のミスだろうね。他からは、それを外す条件はないようだから。

お礼

再びの回答ありがとうございました。
やはり、模範解答のミス。もしくは省略した。のどちらかしか考えられませんよね・・・。
他にも解答方法があるようなので、そちらで頑張ってみようと思います！
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

うっかりミス。

(誤)　ad＾2＜8＜ac＾2。ad＾2＜8だから(dの2乗に注意)、d＝1.

(正)　ad＾2＜8＜ac＾2。ad＾2＜8だから(dの2乗に注意)、d＝1、2.

従って、同じような考え方で、d＝2の場合も検討しなければならない。但し、ad＾2＜8だから、a＝1のみ。

補足

回答ありがとうございます。
そのようにやれば解けるのは分かりました。
ありがとうございました。
しかし、なぜ候補に挙がっていないのか？
それが今一つ分かりません。
たとえば、「解答は省かれている」とか。
もしよろしければ、回答よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

acd≦8、c＞d≧1　までは良いとしても、問題はその後なんだが、それが模範解答に書いてないのは不思議。
整数問題は、時として調べるという作業が必要になるが、その作業も闇雲ではいけない。

a(c＾2-d＾2)＝1+2bcd、‥‥(1)　b(c＾2-d＾2)＝2(9-acd)‥‥(2)
(2)より、9-acd＞0より　acd≦8だから　acd＝8、7、6、‥‥‥。(1)より　c＾2-d＾2＞0　つまりc-d＞0。
c＞dより　ad＾2＜acd＜ac＾2　‥‥(※)
acd＝8とすると、　ad＾2＜8＜ac＾2。ad＾2＜8だから(dの2乗に注意)、d＝1.これは、acd＝7、6、5としても同じだから、常にd＝1。よって、a(c＾2-1)＝1+2bc、‥‥(3)　b(c＾2-1)＝2(9-ac)‥‥(4)

・ac＝8の時、c＞d＝1　だから(a、c)＝(1、8)、(4、2)、(2、4)の3通りあるが、(3)と(4)でbが自然数になるものはない。
・ac＝7の時、c＞d＝1　だから(a、c)＝(1、7)、(3)と(4)でbが自然数になるものはない。
以下、ac＝6、5、4、3、2　の時も同じようにして求め、a、b、c、dが全て自然数になる組を求める。以下は自分でやって。

(注)
ad＾2＜acd＜ac＾2　‥‥(※)　の扱い方は、整数問題では常識といって良い。
憶えておいたら良い。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

a,b,c,dは「正の数」という「1以上の数」であることを
しっかりと頭にいれておかないとだめですね。
そして、いろいろと式を変形していますが、絞り込むための式は
c＞ d…(A式)と acd＜ 9…(B式)ですね。

(B式)は「3つの数をかけて、9よりも小さくなる組合せ」を書きだすことになります。
また、(A式)から cは 2以上（dはもっとも小さくでも 1だから）となるので、
2≦ acd≦ 8 かつ c＞ d

となる組合せを探すことになります。
あとは、acd＝ 2、acd＝ 3、acd＝ 4、・・・、acd＝ 8と探していくことになります。

c＞ dであることにも注意しながら、効率よく書き出していかないといけないですね。
実際には結構手間がかかるところではあります。
まだ、bも合わせて求めていく過程があるので、ここではさくっと書かれている感じだと思います。

補足

ということは、この解答に書き出されている候補は、全部ではないということでしょうか？

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

端的に行きましょう。

ｂ　は　どこに行ったのでしょう？

続きは？　これは途中でしょう？

それと、自分で計算してみましょうね。

（１，３，１）も　ｂ　が整数にならないと思うよ。

もっと絞り込めるはずだよ。　続きがないからなんともいえないや。

多分、ここで　ｂ　のことを考えてないのは、回答としておかしいと思うよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

私の質問文に解答は「途中まで」と書いていないでしょうか？
分かりにくかったなら、ここで補足いたします。