整数問題

質問

相異なる自然数a,b,cがあり、どの２つの和も残りの数で割ると１余るとする。a<b<cとする。
a+bをｃで割った時の商はいくらか？
解答に、a+bをｃで割った時の商をｓとすると、ｓ＝１，２，３、、、
とあるのですが、なぜｓは正の整数となるのでしょうか？
たとえば、a=1,b=2,c=5のとき、３＝５×商（４／５）＋余り１というのはありえないのでしょうか？

回答No.3

QoooL · ベストアンサー

＃１ですが、＃２の補足に対して回答します。

普通、常識的には、「余り」を考える問題では、対象は自然数のはずです。
ただ一般的に、商は　「自然数」ではなく　０以上の整数　として考えます。

ではこの問題の解答ではなぜ　「商ｓは正の整数」とされているのか？（なぜ０が入らないのか？）
それは、この問題特有の制限にあります。

一般的に、自然数ｎを自然数ｍで割った時の商をＸ、余りをＹとおくと、
ｎ＝ｍＸ＋Ｙ
Ｘは０以上の自然数
Ｙ＝０，１，２，…，ｍ－１　（０以上ｍ－１以下の整数）

Ｘが０のとき
ｎ＝０，１，２，…，ｍ－１
です。

Ｘが１とすると
ｎ＝ｍ，ｍ＋１，ｍ＋２，…，２ｍ－１
ですから、Ｘ≧１としてしまうと、ｎ≧ｍとなっていろいろ具合悪いことが出てきますね。
。

全ての自然数ｎ　（つまりｎ≧１）　について考えるためには、Ｘ≧１　ではなく　Ｘ≧０　です。

さてそこでこの問題に戻ると、
１≦ａ＜ｂ＜ｃ　より　ｂ≧２，ｃ≧３　・・・式1　です。
また定義より
ａ＋ｂ＝ｃＰ＋１
ｂ＋ｃ＝ａＱ＋１
ｃ＋ａ＝ｂＲ＋１
（Ｐ，Ｑ，Ｒは０以上の自然数）
とおけます。

しかし式1の関係から
１＋２≦ａ＋ｂ＜ｃ＋ａ＜ｂ＋ｃ
という大小関係がわかります。
ａ＋ｂは３以上の自然数ということがはっきりしたので、
ａ＋ｂ＝０　や　ａ＋ｂ＝１　となることはありえません。
ａ＋ｂ＝ｃＰ＋１　において　Ｐ＝０　とおくと　ａ＋ｂ＝１　となってしまうので、
Ｐ≧１　という制限が付くのです。

普通は　商は０以上の自然数　と覚えておいてください。

さてそこで、
＞　－５を３で割った余りはどうかんがえればよいのでしょうか？
ですが、このご質問自体がイレギュラーです。
私も　負の整数を　正の整数（自然数）　で割った余り　を考えさせる余り　を考えさせる問題
に出会ったことがありますが、その場合には
　　－５を３で割った余り　を　１とする
というような例が問題文に示されているはずです。
　　－５＝　－６＋１
と考えるか
　　－５＝　－３－２
（　　５＝　　３＋２　の正負符号逆転）
と考えるか　で問題の解答が変わってきますからね。

たいていは、「自分で○○とおく」としているはずですよ。だから自分で決めたことがぶれてはいけません。
ｎ＝ｍＸ＋Ｙ
Ｘは整数
Ｙ＝０，１，２，…，ｍ－１　（０以上ｍ－１以下の整数）
とおき、
ｎを「全ての整数」の範囲に拡張するなら、
余りＹはあくまでも　「＋Ｙ」　という決まりに　自分で決めた　のです。
だから
　　－５＝　３ｘ（－２）＋１
商　－２　　余り　１
がこの場合は正しいです。

「負の整数を正の整数で割った余り」　は一般的にはこう表すはずですが、それは「決まり」「定義」ではないと思います。同様に、
「負の整数を負の整数で割った余り」　などもイレギュラーな問題ですから、「○○とおく」という補足がないと正確に解けません。

自分で「○○とおく」と正しく定義したはずなのに　－５を３で割る　ということを考え「なければならない」　ような状況になった時点で、「○○とおく」という定義自体が間違いだった（想定が甘かった）可能性もあるのでよく見直してみてください。

＞　この割り算では商が整数、あまりが０、１，２のいずれかになるようにすれば良いのでしょうか？

「＋Ｙ」で考える、ということは、そういうことです。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

bgm38489

１１を４で割ると、商は２、余りは３。これは、分かりますか？
商を分数にするのは、余りを出さないようするためです。商が分数で、余りが整数なんてことはあり得ません。
自然数を自然数で割った時の商は、自然数または０、余りは自然数または０。

３＝５×４／５＋１ではありませんね。右辺は、５です。

お礼

ありがとうございました

補足

－５を３で割った余りはどうかんがえればよいのでしょうか？
この割り算では商が整数、あまりが０、１，２のいずれかになるようにすれば良いのでしょうか?

回答No.1

QoooL

小学生の時の割り算を思い出してください。

筆算すると一番下に残った数が余りでしたね。
３７÷７＝５　余り　２
です。
そもそも、この余りというのは、「全て（割る数、割られる数、商）を整数の範囲で考える」というお約束です。
でも質問者さんのおっしゃるように分数まで持ち込んでしまうと、
３７÷７＝５と２／７　　（または３７／７）
となり、
余りは出ません。

（小数の割り算などだと少し例外的になりますけど、今話しているのは原則です。）

以上より、商（４／５）を考えるのは、「整数問題を考えるときはダメ」ですよ。

お礼

ありがとうございました。