直方体内の三角形の面積を求める時の解放の流れ

質問

高校数学I
三角比の章の最後にあたる図形と計量で、弟に質問されました。

直方体ABCD-EFGHの中の△AFCの面積を求めよ。

というような問題が、大抵でてくるとおもうのですが、
基本的な流れとしては、
１三平方の定理から△AFCの３辺の長さを求める。
２余弦定理からどこか１つの角のcosの値を求める。
３三角比の相互関係からsinの値を求める。
４三角形の面積の公式に代入し、面積を求める。
が、一般的ですよね。

これは、三角形の面積の公式で必要になる
２辺の長さとその間の角のsinの値
を求める過程の流れをまとめたもので、
この流れを知っていないと、こうシンプルにはまとまりませんよね。

弟に聞かれたのが、以下のようなことで、
とりあえず面積をだしたいのだから、
この公式を目標に面積を求めようとすると、
まず、必要な２辺の長さを三平方で求め、
次にsinの値を求めようとして…この先は？
となる。

sinの値は、cosの値が求められれば、相互関係で戻せる。
だから、cosを求めればいい。
cosは余弦定理で求められるけど、
さっきはまだ２辺しか求めていないから、残りの１辺も求めてから余弦定理。
求めたらsinに戻せば、目標だった面積の公式にたどり着いた。
でいいのではないか？と思うのですが、
やはりsinを求めたいのに、何故cosを出すのか、という点がピンときていない様子。
たしかに、私もこの流れで解くものだ。と思っていたので深く考えてはいなかったのですが、
何故cosを先に求める。というやり方をするのでしょうか？

単元的には、面積の公式を使って解く。みたいなところがあると思うので、
単純に、直接sinを求めようとすると、高１で使える定理と言えば、三平方や正弦・余弦定理くらいで、
逆に回りくどくなってしまうからなのでしょうか？
面積だけなら、別の方法で求めることが出来ると思いますが、それは考えないことにして。

sinを求めるぞ。
でも、こういう理由があるから、まずはcosを求めよう。

みたいな理由としてどんなものがあるのでしょうか？
回答、よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

三角形の面積Sの公式
　S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 … 三辺と面積の公式（ヘロンの公式）
　S=(1/2)ac*sinB=(1/2)bc*sinA=(1/2)ab*sinC … 二辺とその間の角と面積の公式（★）
S=(1/2)|(a↑)×(b↑)|=(1/2)|(b↑)×(c↑)|=(1/2)|(a↑)×(c↑)|
…2辺のベクトルの外積と面積の公式
　S=rs,s=(1/2)(a+b+c) … 三辺と内接円の半径rと面積の公式
　S=abc/(4R) … 三辺と外接円の半径Rと面積の公式

などがあります。
どの公式を使うかでSを求める手順（流れ）が変わってきます。

質問の手順は(★)の公式を用いる手順です。
その場合の公式
　S=(1/2)ac*sinB
を適用する場合は
　△AFCで　a=AC,c=AF,∠B=∠CAF=θに対応させると
　S=(1/2)AC*AF*sinθ

Sの式でAC,AFは三平方の定理から
　AC=√(AB^2+BC^2)
　AF=√(AB^2+BF^2)
ついでにCFも三平方の定理から
　CF=√(BC^2+BF^2)
と得られます。
sinθを求めるには
　三辺との関係は余弦定理しかありません。
　余弦定理は cosθと三辺との関係式なので直接sinθは求められません。
したがって　
cosθ=(AC^2+AF^2-CF^2)/(2AC*AF)=AB^2/(AC*AF)
を求めてから,公式sin^2θ+cos^2θ=1を使い
　sinθを求めるという手順となります。
今の場合はθは鋭角なので
　sinθ=√(1-cos^2θ)
から求めることになりますね。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

＞sinを求めるぞ。
＞でも、こういう理由があるから、まずはcosを求めよう。
ほんとうに知りたいのは、「角度」です。
その角度に応じた sinなり、cosなりを求めたいわけで・・・。
sin^2(θ)+ cos^2(θ)＝ 1の関係があるので、相互に言いかえることができますよね。

＞この公式を目標に面積を求めようとすると、
＞まず、必要な２辺の長さを三平方で求め、
＞次にsinの値を求めようとして…この先は？
三角形の形状を確定させようとすると、2辺の長さだけではだめですよね。

それら 2辺にはさまれた角の大きさであったり、残りの辺の長さが必要であったりします。
この「角の大きさ」と「残りの辺の長さ」も同じことを言っています。

つまり、角の大きさが決まれば残りの辺の長さも決まりますし、
逆に残りの辺の長さが決まれば角の大きさも決まります。
問題によっては、角の大きさが明確になっている場合もあると思います。

直方体内につくられた三角形の問題となっているので、
3つの辺の長さを求めてから・・・という手順になっていますが、
「三角形の面積を求める」問題とすれば手順はいろいろ変わってきます。

＞これは、三角形の面積の公式で必要になる
＞２辺の長さとその間の角のsinの値
この公式も、もともとは
(面積)＝ (底辺)×(高さ)÷ 2

の公式の(高さ)を辺の長さと角度(sin)で置き換えているだけです。

回答No.2

alice_44

＞ sinを求めたいのに、何故cosを出すのか

cos の値が解かれば、sin の値も解かるからでしょ。
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1.
別に、余弦定理を使う以外の方法で sin を求めても
全くかまわないけれど、特に思い付かないからなあ。