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イオンのポテンシャルエネルギーの問題について
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電荷q1[C]が距離r[m]に作る電位は,無限遠を0として, q1/(4πε0*r) です。電荷q1[C]と電荷q2[C]が距離r[m]離れている時のポテンシャルエネルギーは q1*q2/(4πε0*r) です。 さて,n個の電荷が交互に+e[C],-e[C]と直線上に間隔aで並んでいます。 このときの全ポテンシャルエネルギーは Σ[i=1 to n]Σ[j=1 to n,j≠i] e^2(-1)^i(-1)^j/(4πε0*a|i-j|) と書けます。電荷がn個あるので1個当りのポテンシャルエネルギーUは U=Σ[i=1 to n]Σ[j=1 to n,j≠i] e^2(-1)^(i+j)/(4πε0*a|i-j|n) =e^2/(4πε0*a)Σ[i=1 to n]Σ[j=1 to n,j≠i] (-1)^(i+j)/(|i-j|n) さて,後半の二重Σは純粋に数学的な量です。 数値計算によると,nが数百程度で-1.386くらいに収束するようです。 実際, Σ[i=1 to n]Σ[j=1 to n,j≠i] (-1)^(i+j)/(|i-j|n) =2{-(n-1)/1 + 1*(n-2)/2 - (n-3)/3+1(n-4)/4 -・・・+(-1)^(n-1)/(n-1)+(-1)^n(n-n)/n}/n ≒2Σ[k=1 to n, kは奇数]{(-1)(n-k)/[k*n]+(+1)(n-k-1)/[(k+1)*n]} =2Σ[k=1 to n, kは奇数](-n)/[k*(k+1)*n] =-2{1/(1・2)+1/(3・4)+1/(5・6)+1/(7・8)+1/(9・10)+・・・+1/[(n-1)n]} →-2*log_e(2) (n→∞) よって答えは,U=-2log(2)*e^2/(4πε0*a) と見積もられます。 a=2.8×10^(-10)[m],e=1.6×10-19[C],ε0=8.85pFを使うと, U=1.14×10^(-18)[J]となりました。
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お礼
詳しいご解説をくださりありがとうございますm(_ _)m