斜方投射 着地点がスロープ

質問

こんにちは、物理でよく出される問題で斜方投射、斜めに物を投げて、着地点が投射地点からもっとも離れる際の角度を求める、というものです。

通常は、平地からの投射ですが、一癖ある問題に出会いました。

それは、着地点が平地ではなく、スロープ、坂道であると言う場合です。

いざ解き始めると、とても厄介な問題であることに気付きました。ずっと悩み計算し続けていたのですが、計算が泥沼化してしまいました。何かスマートな方法がないかと思い巡らしておりますが、皆様、どうかアドバイス頂けないでしょうか。

添付の図をご参照頂ければと思います。図中、d、が最大となる場合の投射角度αを求めるというものです。説明が不十分で御座いましたら、細く申し上げますため、その際もご連絡頂ければと思います。

どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

斜面が水平からθだけ下へ傾いており，斜面に対する投射の仰角をαとします。

x = v0 cosα・t + 1/2・g sinθ・t^2
y = v0 sinα・t - 1/2・g cosθ・t^2

t を消去して，

x = 2v0^2/(g cos^2θ) (cosθsinαcosα + sinθsin^2α)

αで微分してゼロとおくと，

tan2α = -1/tanθ

を得ます。

たとえば，θ=30°のとき，α=60°となります。

お礼

ありがとう御座います。

計算のことになりますが、
θ=30°のとき，α=60°
ではなく、α = 30°でないでしょうか。

また、計算上、θ=30oを入力すると、α=-30となり負の値となってしまいますが、
これについて色々と悩んでおります。お聞き下さい。

まず、αは斜面からの角度と定義していますので、α=30度で、斜面の角度が水平からθだけ下がっていると言うことは、
θとしては負の値となるのでしょうか・・・。すると、今度は計算上αはプラスの値（プラス30度）となります。

そして、αは「斜面から」の角度として計算してきましたので、斜面からプラスの３０度ということですよね。そして、斜面は
３０度下に下がっています。すると、αは「水平から」はゼロ度とならないでしょか。

要を申し上げますと、角度の正負の符号、そして、αの意味（斜面からの角度、水平からの角度）についてあいまいなままでおります。考えてはいるのですが、答えを確認することができず、再びアドバイス頂ければと思います。

回答No.4

yokkun831

>2α = atan(-1.73205) = -60度

atan(-1.73205)　はもうひとつの値を持ちますね？

-60°+ 180°= 120°

ゆえに，

α= 60°

となるのです。

お礼

納得です。どうもありがとう御座いました。
とても勉強になり、また具体例、説得力のある文面など物理・数学の要素を抜いてもとても勉強なりました。
重ねましてどうもありがとう御座いました。

回答No.3

yokkun831

>θ=30°のとき，α=60°
>ではなく、α = 30°でないでしょうか。

「斜面が水平からθだけ下へ傾いており，斜面に対する投射の仰角をαとします。」

と書きましたね？

図がなかったので，αの定義をどうされたかは不明だったので，こちらで定義させていただいたのです。

お礼

細かく何度も回答を頂きまして本当にありがとう御座いました。
これからもご回答頂けますととても幸いです。物理を学びなおしておりますところでして、
再起させるためにもどうぞご協力頂ければと思います。重ねましてどうもありがとう御座いました。

補足

はい、
「斜面が水平からθだけ下へ傾いており，斜面に対する投射の仰角をαとします。」
は理解しているのですが

tan2α = -1/tanθ

をθ=30°のときで計算しますと・・・・順々に見てまいります。
tanθ =　0.57735
-1/tanθ = -1.73205
2α = atan(-1.73205) = -60度
なので、α = -30度
となりますが、何か計算間違いしてますでしょうか・・・？

それで、・・・この角度マイナス値をどう処理・理解すればよいのかに悩んでいます。

投射角度は、斜面から-30度・・・ということは・・・斜面が30度傾いていることから、投射は水平からゼロ度とならないでしょうか。

何か、当惑しております。(1)まず計算結果があっているのかどうか、(2)そして角度がマイナス値をどう理解すればよいか、ということで躓いております。

回答No.1

yokkun831

図が見当たらず上り坂か下り坂かわかりませんが，どちらでも考え方は同じ。
斜面の傾角θ，斜面からの仰角αとします。

この類の斜方投射問題の常とう手段は，斜面に平行・垂直の２方向分解をすることです。

x = v0 cosα・t - 1/2・g sinθ・t^2
y = v0 sinα・t - 1/2・g cosθ・t^2

今回は，y = 0より，t を消去して，xを最大にするαを微分によって求めるのがよさそうです。もちろん，他のブレイクスルーがあるかもしれませんが…。

お礼

ありがとう御座います。
図なのですが、なぜかエンコードできないためアップロードできず、「後でまたアップロードできる」と、言われていたのですが、その方法が見つかりません。問題は、下り坂です。
かなり計算が泥沼化しないでしょうか。アップロードできるようでしたら、してみます。もしくは質問を一旦きってから、再質問します。すみません。

補足

なるほど、「斜面」に平行と垂直成分に分けるのですね。
やってみます！　なるほどなるほど、計算しやすいといいです。