3変量の確率変数の変数変換についての問題です．

質問

x , y , z をそれぞれ区間 [0 , pi] 上の一様分布に従うi.i.dな確率変数であるとし，
新たな確率変数 w が
w = cos(x)cos(y) + cos(z)sin(x)sin(y)
と表されるとき，確率変数wの密度関数を求めよ，という問題です．

逆変換をし，ヤコビアンを求めるなどしてみたのですが，
最終的に周辺化の部分で詰まってしまいます．

よろしくお願いします．

.

回答No.1

reiman · ベストアンサー

A:|s|<1 & |t|<1 & |u|<1
B:|s|<1 & |t|<1 & (w-s・t)^2/(1-s^2)/(1-t^2)<1
C:0<x<π & 0<y<π & 0<1-w^2-cos^2(x)+2・w・cos(x)・cos(y)-cos^2(y)

1<|w|でq(w)=0
|w|<1で
π^3q(w)
=∫[0,π]dx∫[0,π]dy∫[0,π]dz・δ(w-cos(x)・cos(y)-sin(x)・sin(y)・cos(z))
=∫∫∫[A]dsdtdu/√(1-s^2)/√(1-t^2)/√(1-u^2)・δ(w-s・t-√(1-s^2)・√(1-t^2)・u)
=∫∫[B]dsdt/√(1-s^2)/√(1-t^2)/√(1-w^2-s^2+2・w・s・t-t^2)
=∫∫[C]dxdy/√(1-w^2-cos^2(x)+2・w・cos(x)・cos(y)-cos^2(y))

最後の式かその一つ前の式を数値計算で求めるしかないのでは？

回答No.2

reiman

数値計算しました