大学の確率の問題です

質問

確率の問題で質問です

確率変数Ｘが区間[０，１]上一様に分布し、Y=-2logX とする。

(１)Ｙの分布関数と密度関数を求めよ。

(２)Ｙの平均と分散を求めよ。

という問題が分かりません

解説の方よろしくお願いします。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

余計な場合分けがあったのでその部分を削除する

(1)
hをヘビサイド関数、δをディラック関数とし
Yの分布をf、密度をpとする
f(y)=∫[0,1]dt・h(y-(-2log(t)))であるから
p(y)=f'(y)
=∫[0,1]dt・h'(y-(-2log(t)))
=∫[0,1]dt・δ(y-(-2log(t)))
=∫[∞,0]ds・(-exp(-s/2)/2)・δ(y-s)
=∫[0,∞]ds・exp(-s/2)/2・δ(y-s)
=exp(-y/2)・h(y)/2
よって
f(y)=∫[-∞,y]dt・p(t)=(1-exp(-y/2))・h(y)

(2)
平均:m=∫[0,1]dx・(-2log(x))
分散:v=∫[0,1]dx・(-2log(x))^2-m^2
を部分積分によって求めればよい
(1)を使ってもいいが直接やっても簡単なので
(1)を使う必要はないでしょう

回答No.1

reiman

(1)
hをヘビサイド関数、δをディラック関数とし
Yの分布をf、密度をpとする
y<0のときf(y)=0でありp(y)=f'(y)=0
0<yのとき
f(y)=∫[0,1]dt・h(y-(-2log(t)))
p(y)=f'(y)
=∫[0,1]dt・δ(y-(-2log(t)))
=∫[∞,0]ds・(-exp(-s/2)/2)・δ(y-s)
=∫[0,∞]ds・exp(-s/2)/2・δ(y-s)
=exp(-y/2)/2
よって-∞<y<∞で
p(y)=exp(-y/2)・h(y)/2
f(y)=(1-exp(-y/2))・h(y)

(2)
平均:m=∫[0,1]dx・(-2log(x))
分散:v=∫[0,1]dx・(-2log(x))^2-m^2
を求めればよい
簡単な部分積分