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複素数の問題教えて下さい
P(x)=x^3+ax-20は P(2)=-54を満たす。 このとき次の問題に答えよ (1) aの値を求めよ (2) P(x)をx+1で割ったときの余りを求めよ。 (3) P(x)=0の解をα,β,γとするとき α+β+γの値を求めよ。 この３つのどれかでも わかる人は全部お願いします できるだけ詳しく教えてくれたら うれしいです... お願いします！
- kurukazu15
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質問者が選んだベストアンサー
一つ一つ頑張って解説してみます^^A。ただし、【質問】だけを解決できたらという主旨ではなく、できるだけ問題の意味も含めて解説してみます^^A（自己への挑戦ですので、飽きたら読まなくてもいいですよ^^A）。 （１）まず、「P(x)＝x^3＋ax－20」というのは・・・「xを変数とする関数」とでも考えてください。 （もっと簡単に言えば、xに関する式） だから、「P(x)」から見て、「P(2)」というのは・・・「xに２を代入してください」ということを意味します。 つまり、「P(x)＝～」の式から・・・ P(2)＝(2)^3＋a(2)－20 ＝8＋2a－20 ＝－12＋2a ・・・となります。 そして、P(2)＝－54とは「これが－54となる」らしいので・・・ －12＋2a＝－54 ・・・これを解いてa＝－21 （２）上のことから、「P(x)＝x^3－21x－20」と分かりました。 そこで、実際に、P(x)を「x＋1」で割り算してもいいのですが・・・少し面倒ですね、 というか、聞いてることは「余り」の部分だけですね。 ここで、強力な武器として「剰余の定理」というものがあります。 ＊「剰余の定理」というのは、「余り」だけを見破ることができる武器のことで・・・ 実際に、「お手本」としてこんな感じで利用します。 P(x)＝x^3－21x－20を・・・「x－2」で割った時の余りは？ （い）割る式「x－2」を一旦「x－2＝0」として解いておきます。x＝2 （ろ）このxの値を「P(x)」の形から「P(2)」として計算します。 （は）計算した結果が、実は「余り」となっているんですよ^^A。 ＊そうなんです！先程の「P(2)」の値は・・・ 「P(x)」を「x－2」で割った時の「余り」と言うことができるんです。 では、本題に戻って・・・「P(x)」を「x＋1」で割った時の余りは？というと・・・ 上の（い）～（は）順に挑戦してみてください。きっと「P(－1)＝0」とたどり着けると思います^^。 ＊つまり、「余り」は「ゼロ０」だったんですね^^A。ということは・・・ 「P(x)」は「x＋1で割り切れる」ということだったんですね。 （３）「P(x)＝0の解」が必要なので・・・ 「x^3－21x－20＝0 （A）」として解きたいところですが、これにも武器があります。 その名は「解と係数の関係」です。 ＊「解と係数の関係」という言葉は、聞いたことがあるかと思いますが・・・ 三次方程式の「解と係数の関係」をまずしっかりと抑えておきましょう。 ・三次方程式の一般形として・・・今「ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0（a,b,c,dは実数）」とします。 そして、この三次方程式の解を、「α、β、γ」とします。 これら３つの解について、次のような関係があります。 ・α＋β＋γ＝－b/a ・αβ＋βγ＋γα＝c/a ・αβγ＝－d/a では、本題に戻って・・・ 今回は、上の「解と係数の関係」から「α＋β＋γ」のことを聞いていますね。 ということで、三次方程式の一般形と、今さっきの（A）式の形から・・・ a＝１、b＝0、c＝－21、d＝－20 となっていますね。 （＊b＝0は、x^2の係数が0と考えて・・・0x^2ということから） つまり、α＋β＋γ＝－b/a＝－0/1＝0 ^^A。 【追記】長くなりましたが、最後までお付き合いいただけてたなら光栄です^^v。
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- eco1900
- ベストアンサー率66% (59/89)
追加で、質問が入っていたので答えておきます＾＾A。 >質問なんですが(3)の式にあてはめたとき >b=0となっていて >解説にx^2の係数が0と考えて… >と書いてありますが >それはなんで0なんですか？ >x^2の部分の2乗部分が >x^3-21x-20=0の式に >ないからですか？ >よかったら教えて下さいっ ・・・と、お答えしようとしましたが、あなたの考え通りで「どんぴしゃ」です^^A。 ・・・ということで、この辺で失礼しますね^^v。
お礼
ほんとありがとうございました！ わかりやすかったです(;_;)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
なんにもわかんなくても、A No.2 をノートに丸写しすることはできますね。 それでわかるようになるのかどうかは、謎ですが。
お礼
ちゃんと写します(T_T)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) P(x)=x^3+ax-20 P(2)=2a-12=-54 2a=-42 ∴a=-21 (2) (1)より P(x)=x^3 -21x-20 P(x)をx+1で割ったときの余りは,剰余定理より P(-1)=-1+21-20=0 と余りはゼロになります。 (3) P(x)=x^3 +0・x^2 -21x-20 =(x-α)(x-β)(x-γ)=x^3 -(α+β+γ)x^2 +(αβ+βγ+γα)x-αβγ なのでx^2の係数を比較して（解と係数の関係） α+β+γ＝0 となります。
お礼
すみません (1)の２行目の-12って どっからきたんですか(T-T)?
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(1) ができないのは、ヤバ過ぎます。説明のしようがありません。 (2) 「因数定理」が何だったか思い出してください。答えは P(-1) です。 (3) (x-α)(x-β)(x-γ) の括弧を展開して、三次式を整理してください。 それを、P(x) = x^3 + ax - 20 と見比べると… ところで、複素数の問題は、どこですか？
お礼
これ複素数じゃないんですか… すみません(;_;) 複素数とかP(?)のやつ まだ学校で習ってなくて 教科書にものってなくて なんにもわかんないんですよ すみません 回答ありがとうございました
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- 数学・算数
お礼
長々ありがとうございます(T_T) (1)(2)はすごいよくわかりました！ 質問なんですが (3)の式にあてはめたとき b=0となっていて 解説にx^2の係数が0と考えて… と書いてありますが それはなんで0なんですか？ x^2の部分の2乗部分が x^3-21x-20=0の式に ないからですか？ よかったら教えて下さいっ