複素数の問題について

質問

三次方程式x^3+ax+b=0(ただしｂ≠0)の一つの解をαとおくと、他の二つの解はα^2,α^3になる
このとき次の問に答えよ
(1)a,bおよびαの値を求めよ
(2)ｎを正の整数とするとき、α^3nを求めよ

という問題なのですが、どのように解いていったらよいのかよくわかりません。
数学がお得意の方、よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

springside · ベストアンサー

(1)
解と係数の関係より、
α+α^2+α^3=0・・・A
α・α^2+α^2・α^3+α^3・α=a・・・B
α・α^2・α^3=-b・・・C

Aより、α(α^2+α+1)=0となるが、b≠0であるからα≠0であることを考慮すれば、α^2+α+1=0
これを解いて、α=(-1±√3 i)/2
Bより、a=α^3(α^2+α+1)=0　（∵α^2+α+1=0）
Cより、b=-α^6=-(α^3)^2=-1　（∵α^3=1[計算してください]）

(2)
α^3n=(α^3)^n=1^n=1

お礼

どうもありがとうございます！
解と係数をつかうとはきがつきませんでした

ありがとうございました

回答No.2

kiriburi

三次方程式の解がα,α^2,α^3だから

(x-α)(x-α^2)(X-α^3)＝0……(イ)

X^2の係数が0であるから
α^3+α^2+α=0
ｂ≠0よりα≠0、両辺をαで割って
α^2+α+1=0
α=(-1±(√3)i)/2
α^2=(-1±(√3)i)/2…複号は逆
α^3=1

(イ)に入れて簡単にすると
x^3-1=0

これよりa=0,b=-1である
また、α^3=1よりαの3n乗は1になる

お礼

ありがとうございました！
解と係数を使うのにきがつきませんでした～。
さんこうにさせていただきます