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磁気モーメントの歳差運動の角周波数はγB、ハイゼンベルク運動方程式の解き方
- z方向に一定の磁場Bが印加されているとき、ハイゼンベルク描写において磁気モーメントは歳差運動をする。
- ハミルトニアンをH=-γhBSzとし、時間依存する演算子Sについて考える。
- 磁気モーメントの歳差運動の角周波数はγBであり、ハイゼンベルク運動方程式から<Sx(t)>を求めることができる。
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- rnakamra
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>exp(-iθSz) Sx exp(iθSz) = Sxcosθ + Sy sinθ >という関係式ってなにか、名前がありますか？自分が見た2,3冊の教科書にはこの関係式が載っていませんでした。 特別に何か名前があったかは定かではない。 証明自体はさほど難しくない。exp(iθSz),exp(-iθSz),cosθ,sinθをテーラー展開して係数を比較することになる。 なお、テーラー展開した式からわかるように、exp(iθ)やcosθ,sinθに入れるθの式は無次元量でなければならない。展開した式のθの次数が発散しているのですぐにわかると思う。 exp(-iθSz) Sx exp(iθSz) = Sxcosθ + Sy sinθ 上記の式からθが無次元量、θSzが無次元量であることからSzが無次元量であることがわかる。 なお、別の質問の補足にあった内容で、 >磁気モーメントをμ=γhSと定義していました。おそらくこれが暗にSが無次元の量示唆してたのかなと思います とありますが、これだけではSzが無次元量とはわかりません。この質問の#1で述べたようにSzがhと同じ次元を持っていたとしてもγの次元を変えることでも同じ式を導くことが出来るからです。Szが無次元量であることは、さらにその問題の前提となる定義部分にあるのだと推察されます。
補足
いちおう元の問題文載せます。 「磁場中にある磁気モーメントは、磁場方向を回転軸とする歳差運動をする。このことを量子力学的に示すために、スピン演算子S=(Sx,Sy,Sz)の期待値の時間発展をハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の2通りの方法で計算しよう。ただし、磁束密度は時間によらずB=(0,0,B)とし、スピンSと磁気モーメントμとの間にはμ=γhSの関係がある。ここで、γはスピンの磁気回転比、hはプランク定数を2πで割ったものである。」 磁気モーメントの単位はJ/T、hの単位はJ・S、磁気回転比の単位は1/(S・T)と調べた結果、Sは無次元とわかるのですが、磁気回転比の次元とか普通覚えるものなのかな…。また、スピン演算子という言葉を使っているから、Sは単にスピンのことを言ってるのかと、ネットで調べてみても、スピン角運動量演算子のことをスピン演算子ともいうみたいですし…
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