量子力学・電子のスピンの波動関数

質問

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。
http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/

エイチバーをh'と書きます。
そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか？

とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。

スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 1)_t の一次結合で表せるので、
a(1 0)_t + b(0 1)_t =(a b)_t
これを(h'/2)σ_x に作用させると、
(h'/2)(b a)
となり、a=b のとき固有状態となるので、規格化条件より、
a=b=1/√2
よって
Χ(0)=1/√2(1 1)_t

この考え方は合ってますでしょうか？

あともう一つ質問があって、(3)で時間に依存するシュレーディンガー方程式を書くとき、このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか？
ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> つまり、H(zeeman)=(μ_B)Bσz
> でも良いということなのでしょうか？
> 私が使っている量子力学の教科書は、
> 著：小出昭一郎　量子力学(I) です。
> この教科書には、磁束密度(B→)中における磁場のスピンのゼーマンエネルギーHは、ボーア磁子をβとすると、
> H=2β(S→)・(B→)/h'
> となっています。
> こちらの表記法は少数派ということなのでしょうか？

いくつか手元の本を見てみました．
量子力学のテキストでは両方ありますね．
磁性のテキストでは負号派がかなり多数です．
磁性で負号派が多いのは，直接観測にかかったりする量は角運動量ではなくて
磁気モーメントだからでしょうね．
私は負号派です．

あと，パウリ行列 σ_x，σ_y，σ_z の定義はどの本でも同じと思いますが，
S_x，S_y，S_z の方は h' がついている定義とついていない定義があります．
godfather0801 さんの定義は h' がついている方ですね．
「電子のスピンの大きさは 1/2」というときは，
h' をつけない定義で話をしていることになります．
あるいは h'=1 とする単位系を用いているか．

> また、他大の院試を受けるときにこちらで書いてペケをもらうことはないのでしょうか？

私が採点者ならペケにしたり減点したりはしませんね．
院試はたいてい記述式でしょうから，
正号なら「電子の角運動量と磁気モーメントは逆向きだから」
負号なら「量子スピンでは通常この記法にする」
などちょっと書いておけば文句のつけようがないでしょう．

お礼

siegmundさん、返答ありがとうございます。
量子力学の教科書はまだ一冊しか読んだことなかったので、表記法に違いがあるということに驚きました。

＞私が採点者ならペケにしたり減点したりはしませんね．
これを聞いてほっとしました。

私のために色々と教科書を見ていただき、本当にありがとうございました。

回答No.2

siegmund

siegmund です．

> ひとつ疑問があります。
>> ハミルトニアンは -h'B(μ_B)σ_z ですね(負号注意)
>
> ここの部分なのですが、私の考えでは、(1)は、スピンを考慮したゼーマンエネルギーは
> H(zeeman)=2(μ_B)(S・B)/h' (S,Bはベクトル)

そのあたりが(注)で「ちょっと微妙な問題がありますが」と書いたことなのです．

質点の回転の様子と角運動量(ベクトル)の方向とは右ねじ関係で規定されています．
例えば，原点を中心として xy 平面上を反時計回りに回転していたら
角運動量は +z 方向です．
電流と磁気モーメントの関係も同じように規定されています．
で，電子のスピン角運動量が +z 方向である時を考えます．
半古典的に言えば電子が z 軸を回転軸として反時計回りに回転しています
(もちろん，回転というのは正しくないけれど)．
ところが，電子の電荷は負ですからこれは時計回りの電流に対応し，
スピン磁気モーメントは -z 方向を向くことになります．
電子の軌道角運動量と軌道磁気モーメントについても全く同様のことが言えます．

諸悪の根元は電子電荷を負としてしまったところですね．
元をたどれば，毛皮とエボナイトの摩擦電気で毛皮側を正でエボナイト側を負，
としたあたりですかね．

手元の本をちょっと見てみました．
「量子スピン系」(宮下精二著，岩波書店，ISBN-00-011130-2)には
以下のように書いてあります．

----------- (引用はじめ)
スピンと磁気モーメント (μ→)_S との関係は
　　(μ→)_S = -g(μ_B) (S→)
であることに注意しよう．

(中略)

このように，磁気モーメントはスピンや角運動量と逆符号をもつ．
しかし，以後本書では磁気モーメントの向きにスピンを考える．
つまり，(S→)' = -(S→) とし，さらに (B→) を (H→) と書き
　　H = -g(μ_B)(S→)'・(H→)
とする．そして，量子スピン系の通常の記述法に従いこのプライムを書かない

----------- (引用おわり)

(S→) などはベクトルSの意味．別行立ての式の H はゼーマンエネルギー．
g は電子の g 因子で値はほぼ２(量子電磁力学的補正が少しあって，2.0023・・・)．

(μ→)_S で書くと，ゼーマンエネルギーは -(μ→)_S・(B→) ですから，
たしかに磁気モーメントが磁場方向を向いたときにエネルギーが低くなっていますね．

量子スピン系の話では確かに上の引用で書かれているような記法が通常用いられています．

どちらの記述もありでしょうが，混ぜて使ってはいけませんね．
たとえば Wikipedia の「g因子」の項目はその点間違っています．
電子のスピン角運動量とスピン磁気モーメントの関係は負号を付けているのに対し，
軌道角運動量と軌道磁気モーメントの関係は負号を付けていません．

補足

返答ありがとうございます。
つまり、H(zeeman)=(μ_B)Bσz
でも良いということなのでしょうか？
私が使っている量子力学の教科書は、
著：小出昭一郎　量子力学(I) です。
この教科書には、磁束密度(B→)中における磁場のスピンのゼーマンエネルギーHは、ボーア磁子をβとすると、
H=2β(S→)・(B→)/h'
となっています。
こちらの表記法は少数派ということなのでしょうか？
また、他大の院試を受けるときにこちらで書いてペケをもらうことはないのでしょうか？

回答No.1

siegmund

> t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、
> t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか？

そう思ってよいでしょう．
瞬間的に有限の磁場をかけられるかどうかというようなことは，
ここでは突っ込まないということです．

> よって
> Χ(0)=1/√2(1 1)_t

合っています．
ただし，X (大文字のエックス)ではなくて，χ(ギリシャ文字の小文字のカイ)です．
注意深く書くなら
χ(0)=(1/√2) (1 1)_t
ですね．

> このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、
> B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか？
> ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、
> 運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか？

ハミルトニアンは -h'B(μ_B)σ_z ですね(負号注意)(注)．
電子スピンが磁場方向を向いた方がエネルギーが下がります．
問題に「電子が局在」とあります．
これは電子の場所が固定されていて動かないという意味です．
したがって運動エネルギーはありません．

(注) ちょっと微妙な問題がありますが，通常はこの記法です．

補足

返答ありがとうございます。
Xとχの表示、今後気をつけます。

ひとつ疑問があります。
＞ハミルトニアンは -h'B(μ_B)σ_z ですね(負号注意)

ここの部分なのですが、私の考えでは、(1)は、スピンを考慮したゼーマンエネルギーは
H(zeeman)=2(μ_B)(S・B)/h' (S,Bはベクトル)
ここでベクトルBはz成分のみなので
H(zeeman)=2(μ_B)SzB/h'
ここでSz=h'σz/2 を代入して
H(zeeman)=(μ_B)Bσz
よって、ω=(μ_B)B/h'

ですから、ハミルトニアンHは
H=H(zeeman)=(μ_B)Bσz
ということではないのでしょうか？

マイナスが付くのは、エネルギー的に安定であるからだとは思うのですが、上のような導出方法だとマイナスとh'は付きませんよね？
どこが間違っているのでしょうか？