内接円の半径の求め方を教えてください。

質問

△ABCにおいて、sinA：sinB：sinC＝7：8：13が成立し、
△ABCの面積が56√3であるとき△ABCの内接円の半径を求めよ。

この問題の解き方＆計算の仕方＆答えをどなたか導いてくださいませんか？

お願いします。

回答No.2

nora12 · ベストアンサー

正弦定理より2R=a/sinA(=b/sinB=c/sinC)[R:外接円の半径、a=BC,b=AC,c=AB]なので
sinA=a/2R と変形できるかと思います。
2Rは定数とみなすので、sinAとaの比例関係は変わらない、
つまり、△ABCの各辺の長さの関係も変わらないといえます。

よってa:b:c=7:8:13よりaの長さを比例定数k(縮尺のようなものだと思ってください。)
を使って表すと、
　　a=7k,b=8k,c=13k と表せます。←kがないと後で面積が出せなくなるので、必ず入れて下さい。

これを使ってcosCを出してみたいと思います。
(cosAやcosBでもできますが、後で良い値がでてきますので・・・)

余弦定理より
　　c^2=a^2+b^2-2abcosC なので 　cosC={a^2+b^2-c^2}/2ab
これにさっきのa,b,cを代入するとkが約分されてなくなり、cosC = -1/2となります。
よって C=120° となり、sinC=sin120°=sin60°=√3/2となります。
したがって面積をSとすると
　　　　S=1/2*ab*sinC=1/2*7k*8k*√3/2=56√3
よってk>0よりk=2 したがってa=7*2,b=8*2,c=13*2 となります。(後の計算を楽にするためにばらして表してあります。)

以上より内接円の半径をｒとすると内接円の中心は三角形の内心でもあるので、
S=r*1/2(a+b+c)
=r*1/2(7*2+8*2+13*2)
=r*(1/2)*2(7+8+13)
=28r
=56√3

∴ｒ=2√3・・・（答）

先に解答されている方もいらっしゃるようですし、二番煎じの様な感じになってますが、
参考にしていただけら嬉しいです。

お礼

ありがとうございました。

でも、
＜cosC = -1/2となります。
よって C=120° となり、sinC=sin120°=sin60°=√3/2となります。＞

のところがなぜ、こうなるのかよくわからないのですが・・・
cosC＝-1/2が１２０°なのはわかるのですが、
sinC＝sin１２０°からsin６０°(√3/2になってしまうのでしょうか？

ご回答いただけると有難いです。