三角形のsinで求める比/角度・・・

質問

解き方を教えてください<m(__)m>

⊿ABCにおいて、sinA：sinB：sinC＝7：8：13が成立しているときの次の問いに答えよ。
(1)３辺の長さの比AB:BC:CAを求めよ。
(2)⊿ABCの内角のうち、最も大きい角の値をもとめよ。
(3)⊿ABCの面積が56√3であるとき⊿ABCの内接円の半径をもとめよ。

この問題を解くには、なんの公式を覚えればよいのでしょうか？
助けて下さい。

回答No.2

nattocurry

∠Aの対辺BCをa、∠Bの対辺CAをb、∠Cの対辺ABをcとすると、

(1)は正弦定理
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC
外接円の半径をRとすると
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R

BC/sinA＝CA/sinB＝AB/sinC　なので、
BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC　となり
BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC＝7：8：13
AB：BC：CA＝13：7：8
49　64　169

(2)は余弦定理
AB＞CA＞BCより、∠C＞∠B＞∠A
cosC＝(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
＝(BC^2+CA^2-AB^2)/(2BC*CA)
＝(49+64-169)/(2*7*8)
＝-56/(2*7*8)
＝-1/2
∠C＝135°

(3)
AB：BC：CA＝13：7：8なので、AB＝13k、BC＝7k、CA＝8kとおく。

内接円の中心をO、半径をrとすると、
△ABC＝△OAB＋△OBC＋△OCA
Oを頂点とする3つの三角形はすべて、高さはrなので、
△OAB＝AB×r÷2
△OBC＝BC×r÷2
△OCA＝CA×r÷2
△ABC＝△OAB＋△OBC＋△OCA
＝(AB＋BC＋CA)×r÷2＝14kr＝56√3
kr＝4√3
k＝4√3／r

一方、
△ABC＝BC×CA×sinC＝BC×CA×sin135°＝7k×8k／√2＝56k^2／√2＝56×(4√3／r)^2／√2＝56×48／r^2／√2＝56√3
48／√6＝r^2
r^2＝8√6
r＝√(8√6)＝2√(2√6)

私のやり方だとこんな変な値になってしまうのですが、問題は間違ってないんですよね？
△ABCの面積が56√3じゃなくて56√2なら、もっときれいな値になるんですけど・・・

回答No.1

nag0720

＞この問題を解くには、なんの公式を覚えればよいのでしょうか？

(1),(2)は正弦定理
外接円の半径をRとするとき、
BC/sinA=CA/sinB=AB/sinC=2R

(3)は内接円の半径を使った面積の公式
内接円の半径をrとするとき、
面積=r(AB+BC+CA)/2