数学の問題がわかりません。教えてください

質問

△ABCにおいて、その内接円の半径をr、外接円の半径をRとするとき、次の関係が成り立つことを示せ。（1）a＝rsin（B/2　+　C/2） / sinB/2sinC/2 　（2）r＝4RsinA/2sinB/2sinC/2 以上が問題です。よろしくお願いいたします。

回答No.2

longsu · ベストアンサー

問題が内心を扱っているので、たぶん（Ａ／２）（Ｂ／２）（Ｃ／２）で括っていいとは思いますが、＃１の指摘は正論ですよ。以下はその前提でのストーリーです。
（１）は絵に描いてみて、ａとｒと∠（Ｂ／２）、∠（Ｃ／２）の間にどういう関係式が成り立つかがわかれば楽勝です。
内心から辺ＢＣに垂線をおろしてａ＝ａ１＋ａ２とでもしてやると、
r=a1tan(B/2)=a2tan(C/2)
が導けます。後はa1,a2をr,B,Cで表してa=の式に入れて、tanをsin,cosで表して通分し、分子にsinの加法定理を適用すれば終わりです。
（２）は少々手強いですが、大雑把に方針を言いますと、まずRをa,b,cで表します（正弦定理、余弦定理）。R^3の計算になりますが、どうにかなります。rはヘロン公式から単純に求められます。ちなみにヘロン公式は三辺から三角形の面積を求めるものですが、三角形の三辺の合計を底辺にしたとき、内接円の半径が高さに相当することは当たり前のことです。もし知らなかったら、確認しておいてください。

もう少し丁寧にいうと、まず正弦定理から
R^3=abc/8sinA/sinB/sinC
です。sinはダイレクトにはa,b,cで表現できないので√(1－cos^2)にしてから余弦定理です。
sin(A/2)は半角公式からcosAで表してやれば余弦定理が適用できます。
計算力をつける意味でもきちんとやってみることをおすすめします。

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。未熟な入力方法でここまで解答してくださったこと感謝致します。次回からの投稿は解答される方にわかりやすい説明の方法で行いたいと思います。ご指摘ありがとうござました。大変助かりました。

回答No.3

mister_moonlight

質問者は始めての質問のようだ。ＨＮをクリックするとわかる。従って、書き方が解らないのは致し方ない。
いちいち煩い事言ってるから、こんな簡単な問題が難しく見えるんだ。

(2)だけ答えておく。

ＡＢ＝c、ＢＣ＝a、ＣＡ＝bとし、∠Ａ＝2α、∠Ｂ＝2β、∠Ｃ＝2γとする。α＋β＋γ＝π/2.
正弦定理から、a＝2Ｒsin2α、b＝2Ｒsin2β、c＝2Ｒsinγ　‥‥(1)
設問(1)から、a＝r*cosα/(sinβ*sinγ)であるから、同様にして、b＝r*cosβ/(sinα*sinγ)　、c＝r*cosγ/(sinβ*sinα)‥‥(2)
(1)と(2)をかけてabcを作ると、r＾3*(cosα)*(cosβ)*(cosγ)＝64Ｒ＾3*(cosα)*(cosβ)*(cosγ)*(sinα)＾3*(sinα)＾3*(sinα)＾3　となる。
r、Ｒ、cosα、cosβ、cosγ、sinα、sinβ、sinγ　は全て正から、r＝4Ｒ*sinα*sinβ*sinγ　で終り。

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。入力方法の件、ご指摘ありがとうございます。次回からは画像添付などわかりやすく対応致します。

回答No.1

Tacosan

何が分子で何が分母か, あるいはどこまでが sin の引数なのか, さっぱりわかりません.
例えば (2) の式の右辺は
・4R [(sin A)/2][(sin B)/2][(sin C)/2]
・4R sin [A/(2sin {B/[2sin (C/2)]})]
などなど, 非常に多くの解釈が存在しえます.
括弧を適切に使って, 一意に解釈できるように書いてください.

お礼

わかり難い表現で申し訳ありません。投稿を見ていただきありがとうございました。次回質問する際にはわかりやすく説明致します。