広義積分についての問題です

質問

１．次の広義積分を計算せよ。
(1) 1∮2 1/√(x-1) dx
(2) 0∮1 xlogx dx
以上の問題が分かりません。

計算した結果√の中がマイナスになったりしておかしいと思い、よく分からなくなりました。
どなたか説明も入れて解いてくれませんか。お願いします。一応、∮は積分記号です。

回答No.2

alice_44

(1)
このサイトで度々回答していると、回答に対して
「もう自分で解決した」「よく考えたら簡単だった」
などの返事をもらうことは、よくあります。

(2)
その計算で合っています。
ロピタルを使った箇所が、ややぎこちない感じ
ですが、間違いはありません。
t = log x で置換して極限をとるほうが、
素直だし簡単なように思いますが。

回答No.1

alice_44

√ の中は、マイナスになりませんよ。
不定積分が 2√(x-1) だから、
2√(b-1) - 2√(a-1) の a→1+0, b→2-0 での
極限を求めればよいのです。
a→1+0 は、a→1 の右方極限を指しているので、
√ の中は、マイナスにはなりません。
どんな勘違いをしたのか、貴方の計算過程を
補足に書いてごらんなさい。

補足

回答ありがとうございます。(1)はよく考えたら自分の計算間違いでした。２になりました。書いている途中で気づきました。すみません。
∮[x=α~2] 1/√(x-1) dx =2[√(x-1)][x=α~2] = 2(1-√(α-1)) ->2(1-√(-1))、α↓０
としていてαを１ではなく、０に近づけていました。

(2)は下のようになりましたが、普通に計算してるだけで広義積分の解き方はこれでいいのか分かりません。問題集ではαやβの文字を使って広義積分を解いていたので正しいのか、不安です。

(2) lim[x→0]x^2・log(x)
＝lim[x→0]log(x)/(1/x^2)＝(-∞/∞) の不定形故にロピタルの定理から、
＝lim[x→0]-x^2/2＝0 ‥(*)

部分積分より、

∫x・log(x) dx
＝(x^2/2)・log(x)‐(1/2)∫x dx
＝(x^2/2)・log(x)‐(x^2/4)

従って(*)より、

∫[x=0～1]x・log(x) dx
＝(1/4)・[2・x^2・log(x)‐x^2]_{x=0～1}
＝(1/4)・{(0‐1)‐(2・0‐0)}
＝-1/4