数学・ベクトル場の線積分・面積分の問題です。

質問

解答がなくて、他の問題を参考にしても解けません（泣）
特に、曲線のベクトルにtが入った場合のときかたなど．．．
わかる方、答えまで回答お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問について

>(1/3)(xy-2+2z)dS=(1/3)(xy-x-2y)(3/2)dxdy　…（●）

の部分が分かりません。

S:x+2y+2z=2 から　2z=2-x-2y なので
(xy-2+2z)=(xy-x-2y)　…（★）
x,yだけの関数なので、平面領域Sにおける面積素dSをxy座標平面における面積素dxdy変換してやります。
Sの三角形領域の面積とSの領域をxy平面に投影した三角形の面積比を求めてやります。
平面領域Sの面積はxy座標平面への投影によって2/3の面積になります。
dxdy=(2/3)dS,つまりdS=(3/2)dxdy　…（◆）

（●）の左辺に（★）と（◆）を代入してやれば右辺になります。

<◆>の別の求め方------------------------------------------------------------
数式的には、S:の式
x+2y+2z=2
この法線ベクトルは(1,2,2)なので、単位法線ベクトルnは
n=(1,2,2)/|(1,2,2)|=(1,2,2)/3=(1/3,2/3,2/3)
これのxy平面への投影はz方向の単位ベクトル(0,0,1)との内積から
n・(0,0,1)=2/3
これからSをxy座標平面に投影したときの投影された領域は2/3に縮小される。
面積素について、面積素dSとxy座標平面への投影した面積素dxdyの間には
dS=(3/2)dxdy
------------------------------------------------------------------------

回答No.1

info22_

大学の数学は解答がなくて当たり前、解答は自力で考えれ作成するものです。分からなければ担当科目教師に喰らいついてでもどんどん質問したり、教科書を見たり、担当教員垂線の参考書や大学の図書館にいってかたっぱらしから読み漁って、解決したり、同じ講義を受けている同級生や先輩に聞いたりしてすれば何とか解けると思うよ。担当教員が、誰も解けない問題は取り上げないと思うね。
まあ、他力本願に頼らず、自力でがんばって努力してみて下さい。大学卒業したら、担当教員や同窓の友達もいない環境で、同類の問題を解いていけないようでは大卒といえないな！

>答えまで回答
丸回答は他力本願なので駄目。質問者さんの自力でやれる（やるべき）最後の積分の所だけ
残しておくからね。大学生なら残りはがんばってやる！

(6)　ベクトルを成分表示で書くことにすると
↑A=(xsiny,-cosy,z^2), ↑r=(x,y,z)=(πt,2πt^2,t) (0≦t≦1)
↑A・↑dr=xsinydx-cosydy+z^2dz
=πtsin(2πt^2)πdt-cos(2πt^2)4πtdt+(t^2)dt
=((π^2)*t sin(2πt^2)-4πt cos(2πt^2)+(t^2))dt
なので
∫[c] ↑A・↑dr=∫[0,1] ((π^2)*t sin(2πt^2)-4π*t cos(2πt^2)+(t^2))dt
=[-(π/4)cos(2πt^2) - sin(2πt^2)+(t^3)/3] [t=0,1]

後はtを代入するだけなので自分でやってみて下さい。

(7)
↑A=(xy,-1,z)
S:x+2y+2z=2(x≧0,y≧0,z≧0)
1dx+2dy+2dz=0, ↑n=(1/3,2/3,2/3)
↑A・↑dS=↑A・↑n dS=((xy/3)-(2/3)+(2z/3))dS=(1/3)(xy-2+2z)dS=(1/3)(xy-x-2y)(3/2)dxdy
=(1/2)(xy-x-2y)dxdy
なので
∫[S]↑A・↑dS=(1/2)∫[0,2]dx ∫[0,1-(x/2)] (xy-x-2y)dy

後は簡単は逐次∫なので自力でやってみて下さい。

分からなければ、補足に途中の計算式を書いて分からない箇所を質問して下さい。

補足

(7)の問題の

(1/3)(xy-2+2z)dS=(1/3)(xy-x-2y)(3/2)dxdy

の部分が分かりません。どういうことですか？？