主成分分析の疑問点と第二主成分の計算式について
- 主成分分析において、第二主成分を求める際に行われる計算式はV1=V-λaa'です。
- この式では、相関行列Vから固有値λと固有ベクトルaを求め、λaa'を行列Vから引くことで新しい行列V1を得ることができます。
- 具体的な理由や計算式の導出については情報が限られており、多くの参考文献やウェブサイトでも詳細な説明は見つかりませんでした。
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第二主成分を求めるときの行列V1=V-λaa'
主成分分析についての質問です。 主成分を求めるために、 相関行列Vから、固有値λと固有ベクトルaを求めました。 その次に第二主成分を求めるのですが、 その際に行列Vに対して、 V-λaa'=V1として、新しい行列V1を求めます。 ここが疑問点です。 Vからλaa'を引くことで、 第一主成分の要素を、 行列から引いているんだろうなーというのは なんとなくわかります。 でも、どうしてλaa'が 第一主成分の要素を表しているのかがわかりません。 また、どうやってこの計算式(V1=V-λaa')になったのかもわかりませんでした。 多変量解析の本は何冊か読んでみたし、 ウェブもいくつか閲覧しましたが、 どこにも記述が見つからなく、困っていました。 よろしくお願いします。
- teruringo
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主成分分析とか第1主成分とか第2主成分とか知らないが Aをn次実対称行列として s[1],s[2],s[3],・・・,s[n] をAの相異なる固有値の組とし 固有値s[m]に対応するAの実固有ベクトルをv[m]とし u[m]=v[m]/√(v[m]^T・v[m]) とし B=A-s[1]・u[1]・u[1]^T とすると 0,s[2],s[3],・・・s[n] はBの固有値となり v[1]は固有値0に対応するBの固有ベクトルとなり v[m](1<m)は固有値s[m]に対応するBの固有ベクトルとなる このことと関係あるのでは? なお、固有値の重複度が2以上の時にも同様のことを示すことができる 上記のことは極めて簡単に証明できることなので 知っているとは思いますが
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