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対称行列 固有値
次の2問をお願いします。 (1)Aを2次の対称行列とする。Aの二つの固有値が一致するならばA=λIであることを示せ。 (2)Aを2次の対称行列とする。またλをAの固有値、vベクトルをλに対するAの固有ベクトルとするとき、wベクトル=R(π/2)vベクトルはAのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。 A= a b vベクトル=v1 c d v2 と成分表示する。 見づらいと思いますが、よろしくお願いします。
- monomono0610
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ちょつと 説明も 雑ですね。 (1),(2)とも高校レベルです。 逆質問 1. I 2.R(π/2) 3.A= a b vベクトル=v1 c d v2 と成分表示する。 上記の 1.2.3.ってなんですか。Aの要素は実数としていいですか。 さて Aは対称行列だから A={(a,b),(b,c)} とおきます。 おそらくIは2次の単位行列でしょう。 (1)Aを2次の対称行列とする。Aの二つの固有値が一致するならばA=λIであることを示せ。 Aの固有値をλとする。λは (a-λ)(c-λ)-b^2=0 ∴ λ^2-(a+c)λ+(ac-b^2)=0・・・(1) を満たすが解λが重解だから、判別式D=0 。 D=(a-c)^2+b^2=0 よってa=cかつb=0 (1)に代入して整理すると (λ-a)^2=0 よりλ=a よつてA={(a,b),(b,c)} ={(a,0),(0,a)}=λ{(1,0),(0,1)}=λI (2)Aを2次の対称行列とする。またλをAの固有値、vベクトルをλに対するAの固有ベクトルとするとき、wベクトル=R(π/2)vベクトルはAのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。 R(π/2)は原点の周りの±90°回転を表す一次変換だと思う。 →v,→wを成分で表して、Aで移される2つの点と原点とを結ぶ線分の傾きを求めて、傾き同士の 積が-1となることを示せば、いいことのような気がする。 別解として固有ベクトル →wの固有値をβとする。 (λ≠βが仮定されていることも重要です。) A(→v)=λ(→v)・・・(3) A(→w)=β(→w)・・・(4) Aは対称行列だから (A(→v),(→w))= ((→v),A(→w)) [ 注 内積を( , )で表した] が成り立つから。 (注 この性質も ベクトルを成分で表して右辺と左辺の内積をとれば、 等しいことが分かる。) (A(→v),(→w))= ((→v),A(→w)) λ(→v)・(→w)= (→v)・β(→w) 移項して整理すると、 (λ-β)(→v)・(→w)=0 λ≠βより(→v)・(→w)=0 すなわち2つの固有ベクトルの内積が0だから、一方は他方と90°で交わる。 以下まとめて下さい。
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