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複素解析

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お礼率 23% (9/38)

z=x+iyに対して√w=u(x,y)+iv(x,y)とおいた時
u(x,y) v(x,y)を具体的にx,yの関数で表示すること


大学のレポートの問題です。まったくわからないのでお助けください!
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です.
a^b はaのb乗のことですが,
「一応解けました」とあるので,おわかりになったようですね.

平方して4になる数は±2ですが,
これからわかるように平方根関数は2価関数です.
xが正の数の時は√xは2つあるうちの正の方を表すという約束になっていますが,
zが複素数の時は√zは2価のうちどちらを取るかは特に約束されていません.

z=re^(iθ)と書きすと,√zは
w1=(√r)e^(θ/2)
w2=(√r)e^{(θ/2)+π}
ですね.(w1)^2,(w2)^2,どちらもzになるのを確かめて下さい.
で,w1の方を取り上げることにして,zをr一定,θを0から2πまで
動かしてみましょう.
つまり,zは複素平面上で半径rの円を一周する.
zが一周してもw1の方は元に戻りませんね.
半周しかしません.
zが二周するとw1は元に戻ります.
ここら辺の状況を,w1の複素平面を2枚用意してうまく表そうというのが
Riemann面の考え方です.
2枚の複素平面の「継ぎ目」がbrach cutにあたります.

詳しいことやりますと,大学の1~2回分くらいの講義になりますので,
アウトラインだけ書きました.
複素解析でしたらテキストにRiemann面など載っていませんか?
なければ,図書館で複素関数論の本など探してみてください.
karkarl さんが数学専門ではないのでしたら,応用複素関数論とか物理数学
といったタイトルの本の方が読みやすいかも知れません.
お礼コメント
karkarl

お礼率 23% (9/38)

丁寧な回答ありがとうございました。Riemann面、brach cutについてもわかりやすかったです。
投稿日時 - 2001-04-28 17:32:58
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 50% (3/6)

あの~、zとwの間の関係はどうなっているのでしょうか? それがわからないとどうしようもないという気がするのですが。 ...続きを読む
あの~、zとwの間の関係はどうなっているのでしょうか?
それがわからないとどうしようもないという気がするのですが。
補足コメント
karkarl

お礼率 23% (9/38)

√w は√zの誤りです。
投稿日時 - 2001-04-27 15:43:23


  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

複素解析だったら,この問題は基本中の基本です. まったくわからないというのは,解せません. 授業でやったことで解決がつくはずですが.... レポート問題の答をそのまま書くのは適当と思いません. 折角ですからヒントだけ. z=re^(iθ)の形にしてみたらどうでしょう. あるいは,z=(√z)^2 をu,vであらわして, 実部同士,虚部同士を比較すれば良いんじゃ.... いずれに ...続きを読む
複素解析だったら,この問題は基本中の基本です.
まったくわからないというのは,解せません.
授業でやったことで解決がつくはずですが....

レポート問題の答をそのまま書くのは適当と思いません.
折角ですからヒントだけ.

z=re^(iθ)の形にしてみたらどうでしょう.
あるいは,z=(√z)^2 をu,vであらわして,
実部同士,虚部同士を比較すれば良いんじゃ....

いずれにしろ,√zは2価関数です.
branch cutやRiemann面にも注意して下さい.
補足コメント
karkarl

お礼率 23% (9/38)

今年から習っているのでz=re^(iθ). z=(√z)^2 の^の記号の意味がわからないです。よろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-04-28 07:18:17
お礼コメント
karkarl

お礼率 23% (9/38)

一応解けましたが、branch cutやRiemann面とはどういったものなのでしょうか?
投稿日時 - 2001-04-28 13:36:40
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