複素関数の１例について質問

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複素関数の１例について質問

ｆ（ｚ）＝ｚ＾２－３ｚ＋２　のとき、その導関数は
ｆ’（ｚ）＝２ｚ－３　　　　　で良いですよね。
逆に、曲線Ｃに関する積分は、（ｃの表示は省略）
∫ｆ’（ｚ）ｄｚ＝∫（２ｚ－３）ｄｚ＝ｚ＾２－３ｚ＋Ｃ
となるので良いと思います。

ここで、ｚ＝ｘ＋ｉｙ　と置いて同様のことをすると、
ｆ（ｚ）＝（ｘ＋ｉｙ）＾２－３（ｘ＋ｉｙ）＋２
＝（ｘ＾２－ｙ＾２－３ｘ＋２）＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ）
ｆ’（ｚ）＝∂ｕ／∂ｘ＋ｉ∂ｖ／∂ｘ
　　　　＝２ｘ－３＋ｉ（２ｙ）
　　　　（＝２（ｘ＋ｉｙ）－３＝２ｚ－３）
で良いですよね。
逆に、曲線Ｃに関する積分は、（ｃの表示は省略）
一般に
∫ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫（ｕｄｘ－ｖｄｙ）＋ｉ∫（ｖｄｘ＋ｕｄｙ）
なので、
∫｛２ｘ－３＋ｉ（２ｙ）｝ｄｚ
＝∫（２ｘ－３）ｄｘ－∫２ｙｄｙ＋ｉ∫２ｙｄｘ＋ｉ∫（２ｘ－３）ｄｙ
＝ｘ＾２－３ｘ－ｙ＾２＋Ｃ＋ｉ（２ｘｙ）＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ）
＝（ｘ＾２－ｙ＾２－３ｘ＋Ｃ）＋ｉ（４ｘｙ－３ｙ）
となりましたが、
虚数部が（２ｘｙ－３ｙ）になっていません。

何故でしょうか？

ご教示、よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

∫f(z)dz = ∫(2x-3)dx - ∫2ydy + i∫2ydx + i∫(2x-3)dy
までの部分には、特に問題は無い。

その先で ∫2ydx や ∫(2x-3)dy を計算するとき、
(x,y) は曲線 C 上にあるのだから、
x と y の間には C が定める依存関係があり、
∫2ydx = 2y∫dx などと計算してはいけない。

C が定める y = g(x) を代入して、
∫2ydx = 2∫g(x)dx のようにしなければならない。

お礼

ご返答ありがとうございます。

そうですね。おかげで、問題の本質が見えました。
∫（２ｘ－３）ｄｙも、Ｃが定めるｘ＝ｈ（ｙ）を代入して、
∫｛２ｈ（ｙ）－３｝ｄｙ　のようにするのですね。

Ｃはいろいろな曲線なので、Ｃだけでは
（ｘ＾２－ｙ＾２－３ｘ＋２）＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ）という原始関数に
たどり着かないみたいですね。

そこで、Ｃを始点０、終点ｚ（ｚ＝ｘ＋ｉｙ）を結ぶ曲線としてみました。
ただし、ｘ軸上を０からｘまで進み、そこからｙ軸に平行にｚまで進む折れ線とします。
すると、
∫［０，ｚ］ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫［０，ｘ］（２ｘ－３）ｄｘ－∫［０，ｙ］２ｙｄｙ
　　　　　　　　　　　＋ｉ∫［０，ｘ］２・０ｄｘ＋ｉ∫［０，ｙ］（２ｘ－３）ｄｙ
　　　　　　　　　　　＝（ｘ＾２－３ｘ）－ｙ＾２＋０＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ）

となってくれました。
納得できました。

回答No.2

178-tall

>一般に　∫ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫（ｕｄｘ－ｖｄｙ）＋ｉ∫（ｖｄｘ＋ｕｄｙ）　なので、
>∫｛２ｘ－３＋ｉ（２ｙ）｝ｄｚ
>＝∫（２ｘ－３）ｄｘ－∫２ｙｄｙ＋ｉ∫２ｙｄｘ＋ｉ∫（２ｘ－３）ｄｙ
　　　↓
　= (x^2-3x+yC1) - (y^2+xC2) + i(2xy+yC3) + i(2xy-3y+xC4)
とでもしておけば、Cauchy-Riemann が成立するよう {C1, C2, C3, C4} を決められませんか？

お礼

ご返答ありがとうございます。

試しに、
(x^2-3x+２) - (y^2+０) + i(2xy－２ｘｙ) + i(2xy-3y+０)
としてみましたら、一応コーシー・リーマン関係式は満たしていて、良いのかなーと
思いましたが、－２ｘｙに変数ｘが入っていて、まずいんじゃないかと思いす。

うまく決められません。

回答No.1

noname#119424

∫｛２ｘ－３＋ｉ（２ｙ）｝ｄｚ
＝∫（２ｘ－３）ｄｘ－∫２ｙｄｙ＋ｉ∫２ｙｄｘ＋ｉ∫（２ｘ－３）ｄｙ

これだとコーシーリーマンの関係式を満たしていない気が・・・。

左辺の実部をxで微分すると(2x-3)
虚部をyで微分すると∫２ｄｘ＋(2x-3)　　　で∫２ｄｘが0でない時点で
コーシーリーマンの関係式を満たしていない。
他にも理由ありそうだがちょっと考えておく。
ともかく俺もちょっとこれにひっかかりそうだったので気をつけるべき。
ちなみに
f(z)=z=x＋yiとしても　　君と同じようなやり方をすると
∫f(z)dz=∫xｄｘ－∫yｄｙ＋ｉ∫yｄｘ＋ｉ∫xｄｙ=x^2-y^2/2＋2xyi≠z^2/2
となる。

お礼

ご返答、ありがとうございます。

おっしゃる通り、コーシーリーマンの関係式を満たしていないですね。

となると、
∫ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫（ｕｄｘ－ｖｄｙ）＋ｉ∫（ｖｄｘ＋ｕｄｙ）
の使い方が良くないのだろうか、こまりました。

とにかく、よろしくお願いします。