数学II 積分

質問

数学II 積分
次の曲線とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
y=(x+1)^2(x-1)
二通りの方法で計算したら答えが違ってしまったので
どちらかがどこかで間違っているのだと思うのですが

なんどやっても違う答えになってしまい、どこが違うのかが分からないので
間違っているところを教えてください。

図を書くと、できる面積はx軸より下なので

S=-∫[-1～1] (x+1)^2(x-1) dx
=-∫[-1～1] (x+1)^2｛(x+1)-2｝ dx
=-∫[-1～1] (x+1)^3-2(x+1)^2 dx
=-2∫［0～1］ -2(x+1)^2 dx
=4∫【1/3(x+1)^3】 [0～1]
=28/3

これが一つ目のやり方です。
S=-∫[-1～1] (x+1)^2(x-1) dx
=-∫[-1～1] (x+1)^2｛(x+1)-2｝ dx
=-∫[-1～1] (x+1)^3-2(x+1)^2 dx
=-【1/4(x+1)^4-2/3(x+1)^3】 [-1～1] ←ここから違います。そのまま積分して計算しました。
=4/3

間違っているところを教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足での質問について

>∫[-3～3] (x^3-x^2-2x)dx のような問題を説明され
>奇数乗は0になる（この過程も説明されました）から消去して
>偶数上だけ計算するように習いました。
間違って覚えましたね。
xのべき乗の場合は
xの偶数乗は偶関数
xの奇数乗は奇関数
なので、奇関数、偶関数について成り立つことを
奇数乗、偶数乗で成り立つと間違えて覚えてしまたのでしょう。
グラフを描けば一目瞭然で、
y軸を挟んで関数がy軸対称なのが偶関数：f(-x)=f(x)　…（●)を満たす関数
y軸を挟んで関数が原点対称なのが奇関数：-f(-x)=f(x)　…(◆)を満たす関数
です。
y=f(x)=x^3やx^5やsin(x)は奇関数

y=g(x)=(x+2)^3や(x^2+1)^5は奇関数ではないです。

y=(x^2+1)^3や(cos(x))^5は偶関数 です。
奇関数かそうでないかは(◆)を満たすかで判定します。

■奇関数の場合　∫[-a,a] f(x) dx=0
■偶関数の場合 ∫[-a,a] f(x) dx= 2∫[0,a] f(x)dx
が成り立ちます。

f(x)=(x+1)^3は f(-x)=(-x+1)^3=-(x-1)^3≠-f(x)なので奇関数でも偶関数でもない。
y=(x+1)^3のグラフは原点対称でないから奇関数でないし、かつ
y軸対称でもないので偶関数でもないです。

f(x)=(x-1)^4 は f(-x)=(-x-1)^4=(x+1)^4≠f(x)なので偶関数でなない。
y=(x-1)^4 のグラフはy軸対称でないですから｛偶数乗であっても｝偶関数ではないですね。

>だから質問の問題でも奇数乗は消去して偶数上を計算したんですが
>この例題と質問の問題は何が違うのですか?

xの奇数乗はxの奇関数で置き換えられえますから区間[-a,a]での積分は0になるので消去できます。
(x-b)の奇数乗(b≠0)はxの奇関数ではないので区間[-a,a]での積分は0にならないので消去できません。
また
xの偶数乗はxの偶関数で置き換えられえますから区間[-a,a]での積分は区間[0,a]の積分の2倍になります。
(x-b)の偶数乗(b≠0)はxの偶関数ではないので区間[-a,a]での積分は区間[0,a]の積分の2倍にはできません。

ということです。
お分かりですか？

奇数乗、偶数乗で覚えるのではなく、奇関数、偶関数で■の積分の性質を覚えなおして下さい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

info22_

前半
>=-∫[-1～1] (x+1)^3-2(x+1)^2 dx
(x+1)^3は奇関数でないから、ここから次の行に行けません。

>=-2∫［0～1］ -2(x+1)^2 dx
>=4∫【1/3(x+1)^3】 [0～1]
>=28/3

後半
合ってます。

補足

回答ありがとうございます。
学校では
∫[-3～3] (x^3-x^2-2x)dx のような問題を説明され
奇数乗は0になる（この過程も説明されました）から消去して
偶数上だけ計算するように習いました。

だから質問の問題でも奇数乗は消去して偶数上を計算したんですが
この例題と質問の問題は何が違うのですか?