数学II 積分の問題

質問

数学II
積分の問題

次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
y=x^2(x-2)
これはグラフを描くと、x軸とx=0で接し、x=2を通過します。
このとき、面積はx軸より下になるので計算式は

S=-∫[0～2] x^2(x-2)dx です。

定積分 ∫[α～β] (x-α)(x-β)dx
のとき、公式 -1/6(β-α)^3 が使えます。

では、質問にある問題のように x^2(x-2) のときはこの公式は使えないのですか?
学校でこの公式をつかって解いた問題は「xの係数が1（もし1でなかったらその数でくくる）かつxの次数は1」
だったので、こんな問題でも使えるのかどうかが分かりません。
普通に計算しても、この公式をつかっても答えは4/3になったのですが、一致したのは偶然なんでしょうか?

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞この問題の場合-1/6(α-β)^3 は使えない
＞つまり普通に計算せよということですよね?
＞そして答えが一致したのは偶然だということですよね?

そうですね。
ちなみに、-1/6(α-β)^3の式も「公式」として使うのは好ましくないかもしれません。
先の回答で書いていた「準公式」の一つになると思います。

ですので、解答には公式とは書かず、計算結果はこうなりました。
と記した方がいいと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#157574

下手に公式に頼らず素直に解くべきだと考えます。

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞定積分 ∫[α～β] (x-α)(x-β)dx　のとき、公式 -1/6(β-α)^3 が使えます。

それは、
∫[α～β] (x-α)(x-β)dx　＝　-1/6(β-α)^3
ということ以外は何も言っていない式です。

＞＞＞では、質問にある問題のように x^2(x-2) のときはこの公式は使えないのですか?

それは、長方形の面積が　横幅×縦幅　だから、円の面積も　横幅×縦幅　になりますか？
と聞いているようなものですよ。

私は理系ですが、
∫[α～β] (x-α)(x-β)dx　＝　-1/6(β-α)^3
などという公式を知らずとも、不自由したことはありません。
いらぬことを言うようですが、特定のパターンにしか当てはまらない公式は忘れてしまう方が、数学が得意になると思いますよ。

補足

x^2(x-2) を0にするxの値が0と2で、かつ∫[0～2]　であり
∫[α～β] (x-α)(x-β)dx　＝　-1/6(β-α)^3　の公式と
共通点があると思って聞いたんですが

全く根拠もなく言ったわけではないんですが

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

3次関数によって囲まれた面積で、一方が接点、もう一方が交点となるときには
∫[α～β] (x-α)^2 (x-β) dx＝ -1/12*(β-α)^4

という準公式があります。
いまの問題は、これに当てはめることになります。

積分区間の値や前についている係数の絡みで、
答えが偶然一致したというところですね。＾＾

上の準公式自体、一度自分でも計算して確かめておいてください。

補足

回答ありがとうございます。
その準公式というのは教えてもらってないので
使わないという方向で考えると

この問題の場合
-1/6(α-β)^3 は使えない
つまり普通に計算せよ
ということですよね?
そして答えが一致したのは偶然だということですよね?