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転置行列の階数
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この手の「基礎部分」の証明は 教科書の流儀によって 何が前提で何が結論かが変わります. したがって, 「教科書を読みなさい」 としかいえません. まあ,あっさり証明するなら まさに「標準形」にすればいいというだけ. 任意のr行s列行列Aに対して,正則なr次正方行列P,s次正方行列Qが存在し, さらに自然数nが存在し, Eを(1,1),...,(n,n)成分が1で,残りの成分が0であるような r行s列行列とした場合 E=PAQ とできる #これが基本変形による階数の定義で, #また,任意の正則行列は基本変形行列の積であることも既知とする このとき, E^t = P^t A^t Q^t だから, A^tとAの階数が等しい. 決して定義から明らかな結果ではないので それなりの積み重ねが必要.
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お礼
ありがとうございます。よくわかりました。教科書には別な証明が載っていて、よくわからなかったのですが、こちらの証明は理解できました。しかし、何が既知の事実で、前提として使えるのかについては注意を払いたいと思います。