高校数学・図形 辺の値が二つ出ます（￣□￣；）！

質問

△ＡＢＣがあり、∠Ａ＝120°

辺ＢＣ上に点Ｄを取り、ＡＤは∠Ａ＝120°を二等分している。

ＡＢ＝5
ＡＣ＝3
ＢＣ＝7　（つまり ＢＤ＝7×（5／8）＝（35／8）、　ＣＤ＝7×（3／8）＝（21／8））

〝ＡＤの長さを求めよ〟　という問題です。

模範解答では、
△ＡＢＣの面積＝（1／2）・5・3・sin120°＝（15√3）／4　より、

（15√3）／4　＝　（1／2）・5・ＡＤ・sin60°＋（1／2）・3・ＡＤ・sin60°
⇔
ＡＤ＝（15／8）　〟　と求めています。

自分が解いた方法だと、
余弦定理より、
（21／8）〔2乗〕＝3〔2乗〕＋ＡＤ〔2乗〕－2・3・ＡＤ・cos60°
⇔
64ＡＤ〔2乗〕－192ＡＤ＋135＝0
⇔
（8ＡＤ－15）（8ＡＤ－9）＝0
⇔
ＡＤ＝（15／8）または（9／8）

となってしまい、ＡＤの長さが二通り出てしまいます。
・マークシート式のテストで、分子の枠が2マスだった事
・図形の形から、まぁだいたい≒2くらいだろうという事
を手掛かりに、（15／8）の方が答だと判断出来ましたが、これが筆記試験や微妙な形の図形だったら、答に迷ってしまったと思います。

そこで伺いたいのですが、
・そもそも私の解き方は合っているのか？
・このように辺の長さが二通り求まってしまう解法を選んでしまった時、どちらが正しいのか確実に判断する方法はあるのか？
・（9／8）という値は、何か図形的に意味のある値なのでしょうか？

といった点です。

すみません、私は数学は素人な上に、独学しているので、
どなたか数学に詳しい方がおられましたらお教え頂けるとありがたく思います。。　<(＿ ＿)>

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

あえて言うなら質問者さまのやり方は余弦定理を使っているため２通り値が出てしまいますが
あくまでも△ADCに関してのみ出していますので・・
確定したいならもう一つの△ABDの方で余弦定理を同じように使ってADを求めると
最終的に
(8AD-15)(8AD-25)=0
となりますので
両方満たすのはAD=15/8の時ですね。ちょっと面倒くさいですが・・・
二つの三角形があくまでもADの長さが同じ時のみというわけです

お礼

簡潔でとても分かりやすいお答えありがとうございます。

確かにそれなら確実に答えは求まりますね。(^^)

ただおっしゃるように、私の解き方をすると計算式はとても多くなるし、因数分解は大変だし…。

答えは出せても、本番では不適切な解き方だという事が、よくわかりました。。

回答No.6

hrsmmhr

間違えました
60°の三角形は二つあるのですが、もうひとつは
点Eを、Cを中心とする半径21/8の円と直線AD（線分ADの外まで伸ばしたもの）に２点で交わっていて
Cもその一つなのですが、もうひとつとしたときの三角形ACEです

回答No.5

Retoron1995

質問者さんの解法は半分あたっています。質問者さんの求めたAD＝15/8と9/8（この二つを(1)と置きます）は間違ってはいません。そしてここからもうひとつの三角形で余弦定理を使います（質問者さんはΔACDで上記の解を出したので今度はΔABDで余弦定理使用）。ΔABDで余弦定理を使って求めるとAD＝15/8と25/8がでると思います（この二つを(2)と置きます）。そして(1)と(2)の共通の解である15/8が正答であるということだと思います（説明べたですいません）。
図形的な意味はよくわかりません。人数を求める問題で（二次関数で解が2つでるときみたいな時）、片方の解が小数付とかマイナスになってしまった解みたいなものでしょうか？・・・よくわかりません。すいません。

お礼

大変分かりやすい回答をして頂き、どうもありがとうございます。　(v^-^v)

確かにこの方法によって、正確な答が求まるんだなとよく分かりましたが、同時にかなり時間のかかる解

法を自分は選んでしまったなと、反省しきりです。　(￣▽￣;) !!

自分の答はまさに半分正解って感じですね。。

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.4

nattocurry

∠ＡＤＣが鋭角の場合はＡＤ＝１５／８で、鈍角の場合はＡＤ＝９／８になります。
その場合、△ＡＢＣでも同じことをやれば、特定できるかも。

ところで、
＞（つまり ＢＤ＝7×（5／8）＝（35／8）、　ＣＤ＝7×（3／8）＝（21／8））
これは、どうやって出したのでしょうか？
まさか、ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＣ＝５：３だったりしますか？

お礼

回答して頂きありがとうございます。　(*゜ー゜*)

＞（つまり ＢＤ＝7×（5／8）＝（35／8）、　ＣＤ＝7×（3／8）＝（21／8））

これはお察しの通り、ＡＤが∠Ａ＝120°を二等分していて、ＡＢ＝5、ＡＣ＝3　なので、

ＢＤ：ＣＤ＝5：3　となるためです。

回答No.3

hrsmmhr

一つ目の質問は導き出す方法としてはあり得ると思います
三つ目の質問は余弦定理で出てくる２次方程式は結果的にはcos60°＝cos(-60°）となっているため
DCをC側にDCの長さ伸ばした点（ここではEとする）としたとき。三角形ACEの余弦定理でもあるということです
二つ目の質問ですが余弦定理だけでは無理だろうと思われます。
そもそもBCの間に点Dがあるという条件を使わなければなりませんが
それは結果的には正解のやり方をやるほうが早いということになると思います。
うまく判定する方法を思いつきません

お礼

丁寧なご返事、ありがとうございます。　(^-^)

私の解法ではたとえ正解が導き出せる事はあっても、遅いし、２次式になってしまうし…、

特に時間の限られた本番では不適切なんだと感じました。

たとえ正解が導き出せたとしても、時間がかかり過ぎてしまえば不正解みたいなものですよね。。　(￣へ￣|||) ウーム

回答No.2

alice_44

点Ｃを中心とし、点Ｄを通る円周は、
直線ＡＤと、Ｄ以外にもう一点で交わる
可能性があります。その点をＥとして、
ＡＥ=９/８だったということです。

二次方程式の解のどちらがＡＤで
どちらがＡＥかを判定するのは、
結構ゴタゴタした議論になりそうです。

お礼

中心Ｃで点Ｄを通る円周、

これが交わるＤ以外のもう一点のＥとは、ＡＣ上の点という事でしょうか？

この場合、確かに図を見ればＡＥ＝（9／8）くらいのような気もします。

が、なんでこんな所の値が求まってしまうのかは自分にはよく分かりません。。　(=^‥^=)

いずれにしても、自分の解き方がたとえ正解を導き出せる事はあっても、時間の限られた本番ではあま

り適切な解き方ではないという事はよく分かりました。

丁寧なご返事、ありがとうございました。