数学の問題について

質問

数学の問題について

y'={2(x+y)}/{(x+y)^2+1}

どなたかこの問を解いて下さいませんか？
途中式も知りたいです。

何を求めるかについてなのですが、問題はこれとしか
書かれておらずあまり分かっていない状況です。

恐らくですがx=・・・の形だと思います。

左辺と右辺でxとyに整理して、それぞれ積分したら良いと思うのですが・・・

宜しくお願いします。

回答No.3

alice_44

積分して、被積分関数と同じ式に
積分定数がついただけになるワケがない。

未知関数 t で積分することがピンと来なくて、
間違えて x で積分してしまったとしても、
あのような式にはならない。

dx/dt = 1 - 2/(t+1) + 2/(t+1)の2乗
と変形すれば、積分して x = … の形にできるね。

回答No.2

Tacosan

答えがどうなるかは別として

両辺を積分して、
∫dx=∫((t^2+1)/(t+1)^2)dt
x=(t^2+1)/((t+1)^2)+C

のくだりは明確におかしい. なぜこうなるのか.

補足

両辺を積分するところが
どうしても分からないので
教えて頂けませんか…？

回答No.1

alice_44

z = x + y と置けば、z’= 1 + 2z/(z^2 + 1)。
変数分離形になってるでしょ。

補足

dy/dx=｛2(x+y)}/{(x+y)^2+1}

x+y=tとおくと、
dy/dx=2t/(t^2+1)・・・(1)

また、x+y=tより、y=t-x
両辺をxで微分すると、
dy/dx=dt/dx-1・・・(2)

(1)(2)より、
2t/(t^2+1)=dt/dx-1
2t/(t^2+1)+1=dt/dx
(t+1)^2/(t^2+1)=dt/dx

両辺を積分して、
∫dx=∫((t^2+1)/(t+1)^2)dt
x=(t^2+1)/((t+1)^2)+C

t=x+yを戻して、
x=((x+y)^2+1)/(x+y+1)^2+C
x(x+y+1)^2=(x+y)^2+1
x^3+2x^2y+2x^2+xy^2+2xy+x=x^2+2xy+y^2+1+C
(x-1)y^2+x^2y+x^2(x+1)=0

解の公式により、x≠1の時
y=(-x^2±x√(-3x^2+4x))/2(x-1)

これで大丈夫でしょうか・・・？