ベクトルの問題です。あと一歩だと思うのですが・・

質問

こんばんは！ベクトルの問題で分からないのがあったので質問です。

△OABの３辺の長さをOA=OB=√5、AB=2とする。また、→OA=→a,→OB=→bとする。
というのが前置きで、
（1）内積→a*→bを求めよ。
（2）点Bから直線OAにおろした垂線と直線OAとの交点をPとするとき、→OPを→aを用いて表せ。
（3）（2）において、点Oから直線ABにおろした、垂線と直線BPとの交点をQとするとき、→OQを→aと→ｂを用いて表せ。

という問題なのですが、（1）、（2）はそれぞれ、→a*→b＝3、→OP＝3/5→aと求められました。

ところが問題は（3）で、恐らく二通りの表現で式をつくり、係数を比較するのだと思ったのですが、
OQ＝kORとおいた方のORの表し方が分かりません。

というかその方法があっているかどうかも分からないので、できれば（3）は1から教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

foomufoomu · ベストアンサー

(2)は、(→a*→b)/|a|^2 * →a なのは、理解していますか？　|a|は→aの長さです。
内積は、(→a*→b)/|a|とすることで、原点から垂線の足（P点)までの距離を計算するのに使えます。

これがわかっていればO点からABに降ろした垂線の足（R点)はA点を基準に考えて
→AR=(→AO*→AB)/|AB|^2 * →AB
これより →OR = →OA + →AR です。

あとは、j*→BP = k*→OR の方程式を解けばよいです。

回答No.5

muturajcp

訂正します
(1)
4=|AB|^2=(b-a,b-a)=|a|^2+|b|^2-2(a,b)=10-2(a,b)
(a,b)=3
(2)
|OP|=|b|cos∠BOA
(a,b)=|a||b|cos∠BOA=|a||OP|
OP=(|OP|/|a|)a={(a,b)/|a|^2}a=(3/5)a
(3)
OからABへの垂直点をRとすると|a|=|b|だから
RはABの中点だから
OR=(a+b)/2
|OQ|cos∠ROA=|OP|
|OR|=|a|cos∠ROA
|OQ||OR|cos∠ROA=|a||OP|cos∠ROA
|OQ||OR|=|a||OP|=(a,b)

OQ=(|OQ|/|OR|)OR
=((a,b)/|OR|^2)OR
={4(a.b)/(|a|^2+2(a,b)+|b|^2)}(a+b)/2
=(3/8)(a+b)

回答No.4

muturajcp

(1)
4=|AB|^2=(b-a,b-a)=|a|^2+|b|^2-2(a,b)=10-2(a,b)
(a,b)=3
(2)
|OP|=|b|cos∠BOA
(a,b)=|a||b|cos∠BOA=|a||OP|
OP=(|OP|/|a|)a={(a,b)/|a|^2}a=(3/5)a
(3)
OからABへの垂直点をRとすると|a|=|b|だから
RはABの中点だから
OR=(a+b)/2
|OQ|cos∠ROA=|OP|
|OR|=|a|cos∠ROA
|OQ|=|a||OP|=(a,b)

OQ=(|OQ|/|OR|)OR
=((a,b)/|OR|^2)OR
={4(a.b)/(|a|^2+2(a,b)+|b|^2)}(a+b)/2
=3(a+b)/8

回答No.3

htms42

「点Ｑが二本の直線、ＰＢとＯＲ　の交点として決まる」という内容に忠実な表現をベクトルで考えてみます。

見にくいので↑でベクトルを表します。Ｏを基準に取っています。
ＰＢ↑＝ＯＢ↑－ＯＰ↑
ＯＲ↑＝ＯＡ↑＋ＡＲ↑
ＰＢ上の点の位置を表すベクトルは　ｐＰＢ↑　　（０＜ｐ＜１）
ＯＲ上の点の位置を表すベクトルは　ｒＯＲ↑　　（０＜ｒ＜１）

交点ではｐＰＢ↑＝ｒＯＲ↑になっているはずです。
ＯＰ↑、ＡＲ↑がＯＡ↑，ＯＢ↑で表されていればＰＢ↑，ＯＲ↑もＯＡ↑、ＯＢ↑で表されているはずです。
ＯＡ↑、ＯＢ↑の前の係数が一致するはずです。これでｐ、ｒが決まります。
（１）、（２）はこの計算のための準備になっています。

回答No.1

Tacosan

「OQ＝kORとおいた方のORの表し方が分かりません」の「R」が何かわかりません.

△OAB が二等辺三角形であることはいいよね?