合成抵抗を教えてください

質問

添付の図のc-d間の合成抵抗を教えてください．なお，総ての抵抗はr[Ω]です．

これはホイートストンブリッジとみなして解けばよいのでしょうか・・・そうすると台形内の２つの抵抗をゼロとなるんでしょうか．

あるいはcdを共通の底辺とする三角形2つ(cdaとcdb)の合成抵抗を求めればいいんでしょうか．だとするとa-b間の抵抗は無視できるんでしょうか．

すいませんがよろしくお願い致します．

回答No.4

EleMech · ベストアンサー

添付図を参照してください。

ｂ点を移動すれば、デルタ結線とＹ結線の合成になります。　…(1)
これではまだ計算できないので、Ｙをデルタに変換します。　…(2)
まだ計算し図来ので、分かり易い並列回路に簡素化します。　…(3)

さあ、計算してみましょう。
並列回路の合成抵抗は、
r1 ＝ 3r・r ／ (3r ＋ r)
＝ 3r／4

r2 ＝ 2 ・ 3r／4
＝ 6r／4

r0 ＝ (3r／4 ・ 6r／4) ／ (3r／4 ＋ 6r／4)
＝ r／2

多分、これで合っていると思います。

回答No.3

TAKA-ONE

合成抵抗の問題を考えるときのテクニックの一つがあります。
ポイント：「同電位点を短絡する」

順番に考えましょう。
まず点cに流入した電流は、c→dを別に考えると(この部分の電流の大きさは今は考えずに放置、適当にI' と置く)、c→b、c→aに均等に(1/2)I づつ流れます(各辺の抵抗値が等しく、またその先の回路構成が対称であるため)。
つまり、c点の電位をVとすると、a点の電位はVからc-a間の電位差(1/2)I×rを引いた値：V-(1/2)rI となります。
同様に、点dには電流が流入しますが、これはa→d、b→d から均等に(1/2)I づつ流れ込んだものとc→dの電流I' の和になります。
d点の電位は零なので、b点の電位は0にb-d間の電位差(1/2)I×rを足した値：V-(1/2)rIとなります(電流がマイナスなので、零からマイナスを引いてプラスになる)。
つまり、a点の電位とb点の電位は等しく、電気的には抵抗が繋がっていないのと同じになります。
(a-b間に電圧が生じないので、抵抗は取り去って、そこを導線でつないでも同じ）。

a-b間がつながったので、回路を描きかえましょう。
まずd→aに繋がっている抵抗を、d→bに繋がっていると見ましょう。
同じく、c→bにつながっている抵抗を、c→aにつながっていると見ましょう。
すると、c-a間、d-b間で抵抗r の2つの並列ができ、それぞれ合成して(r/2)になります。
これらc-a間、d-b間の合成抵抗(r/2)が導線a-bで接続されているので、これらを直列合成すると(r/2)+(r/2)=r.
よって、c-d間にはrとrの2つが並列接続されているので、合成抵抗は(r/2)となります。

答え：(r/2)

補足ですが、点aと点bが同電位である、というのは、回路構成が対称形であることから分かります。
対称形の回路網の抵抗計算は、大抵は上記と同様の手法で解けます。
ただ、どこの点同士が同電位であるかどうか、というのは、少し慣れないと分からないかもしれませんね。
もし本当に点aと点bが同電位かどうか疑問に思う場合は、実際に各部の電流を計算してみると良いと思います。
キルヒホッフの法則を適用して連立方程式を解くか、もう少し慣れてくれば、メッシュ電流を仮定して解く方法もあります。
ここでは詳細は述べませんが、もし不明ならその旨質問して下さい。

そして、今回のように、同電位点を短絡、という手段を使わない方法もあります。
それは、△結線をY結線に変換する、というものです。
変換定理の厳密な計算は複雑ですが、実用上は公式を使ってa-b-cの三角形を、a, b, cの各点を頂点とするY形に変換します。
各辺の抵抗値が等しい場合、この変換により、各辺の抵抗はそれぞれ(1/3)になります。
あとは並列部分、直列部分が現れるので、順番に合成していくだけです。
…イメージできますか？

お礼

詳細なご説明ありがとうございました.

上記の方のご回答と合わせて参考にさせていただき，解決いたしました.

回答No.2

gato_azul

図の画き替えをしてみました。添付図を参照してください。

1.　元図
2.　b-c 間の抵抗を「外」へ振り出す。
3.　縦に描かれている a-b を横に描き直す。
4.　見易く整理する。

　と云うことで、各素子が同抵抗値なら a-b 間においては仮に抵抗値が 0 (短絡)であっても、∞ (開放)であっても関係ないことが判ります。

　と云うワケで、結論は先に回答された方の仰るとおりです。

お礼

ありがとうございました.

上記の方のご回答と合わせて参考にさせていただき，解決いたしました.

回答No.1

gohtraw

CD間に電圧をかけた場合、回路の対称性からａとｂは電位が等しくなるのでａｂ缶の電流はゼロになります。従って、下記の三つの合成抵抗を考えればいいのではないでしょうか。
・ＣＡＤ：ｒが直列に二つ
・ＣＢＤ：同上
・ＣＤ：ｒが一つ

お礼

ありがとうございました.

上記の方のご回答と合わせて参考にさせていただき，解決いたしました.