数列の問題でわからないことが・・・
- 数列の問題でわからないことが・・・
- 「７で割ると５あまる数は７K+５」「１３で割ると１１あまる数は１３L+１１」と表すべきかどうか疑問に思っています。
- ７K－２＝１３Lー２（K,Lは自然数）とすることで、共通のマイナス２を消去して式を変形したのでしょうか？
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数列の問題でわからないことが・・・
200以上５００以下の自然数の中で７で割ると５余り １３で割ると１１あまるものは何個あるか？（黄色チャートの問題です） という問題について質問です。解答では 「７で割ると５あまる数は７（K－１）+５＝７K－２ １３で割ると１１あまる数は １３（Lー１）+１１＝１３Lー２ よって７K－２＝１３Lー２（K,Lは自然数） を満たす。よって７K＝１３L ７と１３は互いに素であるからKは１３の倍数である。 ゆえにK＝１３ｎ（ｎは自然数）とあらわされて 題意の数は７×１３ｎ－２すなわち９１ｎ－２ 条件を満たす自然数は初項８９公差９１の等差数列の各項となっている。 ２００以上５００以下の自然数のなかでは、３，４，５ が該当し、答えは３個である」 とあったのですが、前半部分がわかりません。 「７で割ると５あまる数は７（K－１）+５＝７K－２ １３で割ると１１あまる数は １３（Lー１）+１１＝１３Lー２」 とあらわしていますが、７で割ると５あまる数は７K+５ １３で割ると１１あまる数は１３L+１１ ではないんでしょうか？なぜ７（K－１）+５＝７K－２ 、１３（Lー１）+１１＝１３Lー２とあらわしているのでしょうか？ どこからの７（K－１）+５、１３（Lー１）+１１はきたのでしょか？ もしかして、その後の計算で ７K－２＝１３Lー２（K,Lは自然数） とあらわすことによって、共通のマイナス２が消去できて 「７K＝１３L ７と１３は互いに素であるからKは１３の倍数である。 ゆえにK＝１３ｎ（ｎは自然数）」と表すために、 両方に共通の数字がでるような式に変形したのでしょうか？
- ariel88
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質問者が選んだベストアンサー
7 で割ると 5 あまる数は、 7X+5 と書いても、7(Y-1)+5 と書いても、7(Z-2)+5 と書いてもよいです。 X が整数であることと、Y が整数であることと、Z が整数であることは同値です。 X = N で置き換えれば 7N+5 となるし、Y = N で置き換えれば 7N-2 となります。 変数名のつけ方の違いに過ぎません。 7 で割ると 5 あまり、13 で割ると 11 あまる全ての数は、 そのような数のひとつを M として、M + (7 と 13 の最小公倍数)×(任意の整数) と表されます。これは有名な定理なので、知っていてもよいかと思います。 質問の解答例は、要するに、M = -2 という解があることに気づいちゃったよ …と言っているのです。なぜ気づいたのかについては、書いてありません。 よく気づいたね、おめでとう…とでも言ってあげるしかないでしょう。 K-1 や L-1 に、何か特別な技法が隠されている訳ではないのです。 貴方も、山勘で M = -2 が発見できるといいですね。 山勘が発達していない場合は、 7 で割ると 5 あまる数が 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, … 13 で割ると 11 あまる数が 11, 24, 37, 50, 63, 76, 89, … と探していって、共通の数 M = 89 を見つけるとよいでしょう。
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- alice_44
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←A No.4 -2 が +1 になっただけかな。 なぜ 7(m+1)-13(n+1)=0 とあらわしているのでしょうか？ どこからの 7(m+1)、13(n+1) はきたのでしょか？
お礼
私も、回答をしていただいた文を読んだとき、 そこの部分が分からなかったのですが、 まあいいか、と飛ばしていました。。。。 どこからきたのでしょうね？ NO4さんにもう一度質問してみますね。
- mister_moonlight
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そんな解答なら、数列なんて言わずに、最初から不定方程式の問題として解決すると良い。 求める自然数をＮとすると、Ｎ＝7m+5＝13n+11 と表せる。但し、mとnは非負の整数。 7m+5＝13n+11 より 7(m+1)-13(n+1)＝0 だから、7(m+1)＝13(n+1) 7と13は互いに素から、kを整数として、m＝13k-1、n＝7k-1 になるから、Ｎ＝7m+5＝13n+11＝91k-2. 条件から、200≦91k-2≦500 kは整数から 3≦k≦5 より求める個数は 3個。 実際に、k＝5、4、3 とすると Ｎ＝453、362、271.
お礼
ありがとうございます。こんな解答もあるのですね。 参考になります。
補足
質問なのですが、7m+5＝13n+11 より 7(m+1)-13(n+1)＝0 という部分がわかりません。 7(m+1)-13(n+1)=0 は どこからきたのですか？
- puusannya
- ベストアンサー率41% (59/142)
7で割ると5余る数は、１２、１９，２６・・・ではなく ５，１２，１９・・・なのです。
お礼
ありがとうございます。そういうことだったんですね。おかげですっきりいたしました。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
K,Lは自然数に採っているのでK=1,2,3,,,,,L=1,2,3,,, となり、 ７で割ると５あまる数の最初の数5を含めるためには７（K－１）+５ とする必要があります。 １３で割ると１１あまる数も同様に11を含めるために１３（Lー１）+１１ としています。
お礼
なるほど！！！そういうことですね。納得しました。ありがとうございます。
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