変えるべきか、変えないべきか

質問

とある本に次のような問題がありました。

A、B、Cの3つの箱がある。
「1つだけ100ドル入っている。当てたらあげるよ」
と言われた。
彼はどの箱に100ドルが入っているか知っている。
あなたは仮にAを選んだとする。すると友人はCを開け、
Cに何も入っていないことを示した。そして、
「今なら、1ドル払えばBに変えてもいいよ」
と言われた。さて、あなたはBに変えるべきだろうか？

そして、この問題に対する答えが次のように書いてありました。

初めにAを選んだとき、A、B、Cに100ドルが入っている確率は
それぞれ1/3である。ということは、Aに入っている確率は1/3、
BまたはCにはいっている確率は2/3である。その後、友人はCに
何も入っていないことを示した。BまたはCに入っている確率は
2/3であり、Cに入っていなかったのだから、Bに入っているいる
確率はこの時点で2/3となる。よって、1ドル払っても変えるべき
である。

この解答に私は腑に落ちませんでした。
私のは次のように考えました。

初めの時点ではA、B、Cに入っている確率は1/3である。
その後、Cに入っていないことが判明した時点で、A、Bに
入っている確率は1/2となる。
このまま箱を変えなかった場合、期待値は
(0.5*0+0.5*100)=50
となり、箱を変えた場合は
{0.5*(0-1)+0.5*(100-1)}=49
となり、変えない方が期待値が大きい。よって、変えるべではない。

本に書いてあった内容と違う結論になりましたが、本当に
本に書いてある考え方で正しいのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.13

nabeyann

選ばれなかった箱のうちから必ず空箱を開示する条件なら、最初から二者択一論を展開しているＮｏ７です。
最初に、前答の補足しますね。
問題は、一見三者択一のようですが、再選択を提示する前に、必ず空箱を開示する条件下では、たとえどの様に並べられていようと、下記のような組合わせになり、

　　当り箱　　　はずれ箱
　はずれ箱　　架空のはずれ箱

上下又は、左右の組み合わせの中から、どちらかの組かを選ばせ、
条件により、当りを含む組のはずれ箱と架空のはずれ箱を、開示。

次、別な回答
　２人の心理戦を無視すると、

空箱を開示前は、Ａ，Ｂ，Ｃの各箱から見たら、
他の二つの箱の1つに、当りの含まれる確率は（1/3+1/3＝）2/3、
　　　Ａ箱から見れば、ＢorC箱が当る確率は2/3
　　Ｂ箱から見れば、ＡorC箱が当る確率は2/3
　Ｃ箱から見れば、ＡorＢ箱が当る確率は2/3
∴空箱を開示前に、選らんだ箱と他の二つの箱を１：２で交換ならあたる確率は倍になる。
　交換後に、片方を開けたら空だった、他の一つの当る確率は2/3　

※問題は、交換を提案する前に空箱を開示している。
　（相手が、残り二つの箱を所有してると考えるから、おかしくなる？。）
この場合、２人で１箱づつ選び
　　（当りが判っている方が、後から選択する）、
残った箱を、相手が開けたら空だった。
　（どれが、当りか判っているから必ず空箱を開ける。）
　　　と、言う事と同じになり、
　　相手はたとえ自分がが当たっていても、１ドルで交換しても良いと必ず言う。と、考えるべき！？

例えば、（あなたがＡを選び、相手がＢを選ぶ）当然Ｃ箱を開けたら、空だった。
｛残りの箱の当る確率＝2/3－0　この計算式（本の解説）が正しいとすると｝
　　Ａ箱から見れば、Ｂ箱が当る確率は2/3
　　　　Ｂ箱から見れば、Ａ箱が当る確率は2/3

　　だから、Ａ、Ｂどちらの箱を選んでたとしても、当る確率は同じ（＝1/2）。

あなたは、印刷された物（本）を、素直に信じるタイプですか？

本の解答はうんぬんが無ければ、皆さん（自分は本と同じ解説？）別の回答を寄せていた気がスルンデスガ！
＃１２さんの説明に、納得しかけている自分が、いる。でも！
火に油を注ぐ行為かな？