二次元ベクトルが平面空間を生成する定義

質問

c1とc2はRを変域とする。xはR×Rを変域とする変数とする。
「すべてのxについて『あるc1とc2について x=c1v1+c2v2』」
が成り立つとき、v1,v2はR×Rを生成する。

質問なんですが、
１、
v1=(1,-2) v2=(-2,4)はR×Rを生成しないことを証明する場合、
x=c1(1,-2)+ c2(-2,4)=(c1-2c2,-2c1+4c2)=(x1,x2)
c1とc2の連立方程式
c1-2c2=x1　かつ　-2c1+4c2=x2
を満たすc1、c2は存在しない。
で解答は合ってますか？
２、
また、c1,c2についてなんですが、
これはc=(c1,c2)∈R×Rを分解したものなんでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

そうです。
そのような「あるx」が存在することを示すには、
x の実例をひとつ、挙げて見せればよいのです。

お礼

回答有り難うございます。
理解できました。

回答No.1

alice_44

１．
確かに、そのような c1, c2 が存在しない場合があることを示せばよいのですが、
質問文中では、c1, c2 が存在しないという結果を主張しているだけで、
なぜ存在しないと言えるのか、その理由を何も書いていません。証明とは呼べませんね。

c1, c2 は、常に存在しないのではなく、存在しない場合もあるだけですから、
c1, c2 が存在しないような x の実例をひとつ挙げてしまえば、証明したことになります。
x = (1,0) とか、どうですか？ c1, c2 が存在するかどうか、調べてみてください。

２．
「分解したもの」という表現は、意味がよく解りませんが、
べクトル x を基底 { v1, v2 } の上で成分表示すると (c1,c2) となる
…という意味で言っているのであれば、そのとおりです。

ただし、数行上で x = (x1,x2) と書いている成分表示とは、基底が異なっていますから、
(x1,x2) = (c1,c2) という訳ではありません。
x = x1 (1,0) + x2 (0,1) = c1 v1 + c2 v2 だということです。
その点を誤解していなければ、大丈夫でしょう。

お礼

解答有り難うございます。
１についてなんですが、つまり否定命題
「あるxについて『すべてのc1とc2について x≠c1v1+c2v2』」
が正しいことを証明することに等しいのでしょうか？