ポインティングベクトルについて

質問

∂/∂t(B^2/2μ＋εE＾2/2)=-▽・(E×B）/μ-E・J　　B、E、Jはベクトル、εは真空の誘電率、μは真空の透磁率
この方程式を任意の体積で積分しガウスの定理を適用することにより、左辺と右辺の各項の物理的意味を答えなさい。特にE×Bがポインティングベクトルとよばれ、電磁エネルギーの流れを表すと解釈される理由を答えなさい。
という問題なのですが、よくわかりません。どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。

　補足を読みました。概ね見当はついたのかな？という気と、ここまでわかっているからこそ「解釈される理由」にとまどっているのだろうか？（当前と思えるから）の、両方の気がしました。

　ある本に「言いこと書いてる！」と思う部分があったので、挙げておきます。

　　(a)仕事はエネルギーと同じ単位を持っているが、エネルギーではない。
　　(b)仕事はエネルギーの移動を表すものだ。
　　(c)エネルギー保存則は、孤立系で成り立つ。
　　(d)どんな作用も、無限遠で0になる。

　(c)が成り立つ時、当然系外からの仕事も、系外への仕事もないので、(a)，(b)より、系全体の仕事の総和が±0なら、それは系全体のエネルギーが時間的に不変、と表せるはずです。これがエネルギー保存則ですよね？。
　荷電粒子ー電磁場が孤立系かどうかを確かめるには、積分体積を無限遠に飛ばす必要があります。電磁場はどこまで拡がってるか、わからないので。ところで、

　　∂/∂t(B^2/2μ＋εE＾2/2)=-▽・(E×B）/μ-E・J　　(1)

を前提にするという事は、(1)のＪと、そこから発生するＢ，Ｅしかないと仮定するのと同じです。Maxwell方程式が、電荷（荷電粒子）がＢ，Ｅの源と言ってるからです。そうするとＢ，Ｅを駆動するものは、Ｊしかありません。無限遠の表面ＳはＪから無限に遠いので、(d)よりそこでは、Ｅ×Ｂ＝0はずです。従って、

　　d/dt∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄV＋∫E・JｄV=0　　　　(2)

となります。E・Jは、電磁場が荷電粒子に成した仕事率（←率です）でした。なぜ電磁場かと言えば、荷電粒子を駆動する相手も、電磁場しかいないからです。∫E・JｄVは、運動方程式も考慮して、

　　∫E・JｄV＝d/dt(Σmv^2／2)　　　　　　　　　　　(3)

となります。(3)のmは、荷電粒子の質量，vは速度，ΣはＶに含まれる全荷電粒子です。Ｖは全空間なので、Ｊを作る全部の荷電粒子の運動エネルギーへの仕事率という意味になります。率なので、d/dtが現れます。という訳で、

　　d/dt(∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄV＋Σmv^2／2)=0　　　(4)

です。(4)のvを、粒子の初期速度をv0として、(v－v0)に置き換えても(4)は成り立ちます。

　　Σm(v－v0)^2／2

は、まさに電磁場が荷電粒子に対してなした仕事です。(4)は、(a)(b)(c)から導かれるエネルギー保存則の条件を満たしています。よって、Σmv^2／2が粒子の運動エネルギーである以上、∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄVは、電磁場のエネルギーに違いない（と解釈できる）、という話になります。

　次にＶは、Ｊを全て含むが有限とします。Ｖ表面ではＥ，Ｂは0でない可能性があるので、

　　d/dt(∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄV＋Σmv^2／2)==-∫（E×B）/μｄS

です。右辺の項に－が付く事から、これはＥ，ＢによってＶから運ばれるエネルギーの流出「速度」と解釈できます（←速度です）。ポインティングベクトルが、「Ｅ，Ｂだけで出来てる」事から、電磁エネルギーの流れという話になります。

　何故ここまで書いたかというと、(a)～(d)は、ある意味高校範囲という事で、講義では余り強調されてない気がするからです。

　最後は実験的検証で認められた話ではありますが、考えとしてはけっこう単純なのだと、自分は思っています。

お礼

本当に丁寧に解説していただきありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

#1です。

　だとすれば、Ｅ・Ｊは、電場が荷電粒子になした仕事（率）とわかりますよね？。次に積分体積を考えます。これは、電磁場ー荷電粒子系のエネルギー保存則に関わる話ですから、当然積分体積は、「少なくともＪを全て含むような体積」で考える方がわかりやすいです（問題文は任意の体積ですけど、意味については）。

　どうですか？。何とかなりませんか？。できれば、積分後の形と、各項について思うところを、補足に書いて下さい。

お礼

わざわざ回答していただきありがとうございます。

補足

d/dt∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄV=-∫（E×B）/μｄS-∫E・JｄV
d/dt∫(B^2/2μ＋εE＾2/2)ｄVは体積Vの中の電磁エネルギーの時間変化を表していると思います
∫E・JｄVは仕事に使われたエネルギーの量を表していると思います
∫（E×B）/μｄSは表面積SをとおってV内から流れ出るエネルギーを表していると思います

回答No.1

noname#221368

まず確認させて下さい。

　　・ガウスの定理はわかってますか？

　　・Maxwellの方程式は、書けますか？

　　・Ｅ，Ｂの意味（定義）は言えますか？

　　・ベクトル解析は、大丈夫ですか？

　　・Jの正体を言えますか？

補足

はい、ひととうりやりましたので大丈夫です