- ベストアンサー
線積分の問題
paltaanの回答
- paltaan
- ベストアンサー率66% (6/9)
コーシーの積分定理は習っていますか？ この問題では、ガウス平面(複素平面)ではありませんが、この定理のステイトメントが使えます 今、被積分関数となっている関数(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))は原点以外では正則です 故にコーシーの積分定理から、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」で線積分しても「原点を中心とした半径１の円周」で積分しても同じ結果が返ってきます 「原点を中心とした半径１の円周」をパラメータ表示すると… (x(t),y(t))=(cos(t),sin(t)) (0≦t≦2π) ですから、問の積分は次のように計算できます ∫sin(t)(dx/dt)dt+∫cos(t)(dy/dt)dt =∫(sin(t))^2dt+∫(cos(t))^2dt =∫dt =2π 問で与えられた、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」で積分しようとするとかなり大変だと思われます…(少なくとも私はやりたくない(汗)) 練習がてら、次の閉曲線で積分してみてください。この積分はそれほど煩わしくはないはずです。さらに、答えは一致するはずです。 「x=2,y=2,x=-2,y=-2の各々の一部からなる閉曲線」
noname#154783
- noname#154783
関連するQ&A
- 線積分についての質問です
線積分の問題が分かりません… f(x,y)＝-y/(x^2＋y^2) g(x,y)＝x/(x^2＋y^2) であるとき、原点Oを中心とする半径aの円Cに沿った次の線積分をもとめよ ∫c(f(x,y)dx＋g(x.y)dy) お力添えお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の問題
線積分の問題がどうしても解けません。詳しい方いらっしゃいましたら、ご助言宜しくお願いします。 (1)∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π) そのまま代入して計算し、∫0→π -sint^3 + cost^3 dt という部分まで辿り着いたのですが、この先が計算できません。 やり方が違うのでしょうか。 (2)∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy (Cは単位円の周を時計の逆回りに１周したもの） グリーンの定理で重積分に帰着し、∬D 3x - 1 dxdy とまで来たのですが、cos sinを使って範囲設定するとよく分からなくなってしまいました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の問題
円周ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２に沿って、正の向きに一回転線積分 ∫_ｃ (ｘ+ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｘ－(ｘ-ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｙ ｃ=［ｘ^２+ｙ^２＝ａ＾２］ を計算するのですが、 自分は、ｙ1=√(ａ^２-ｘ^２)として、ｄｙ1=-ｘ/√(ａ^2-ｘ^2)，ｙ2=-√(a^2-x^2)として、dy2＝x/√(a^2-x^2)とやり、 与式＝∫_a~-a (ｘ+ｙ1)/a^2 ｄｘ－（x-y1）/a^2 dy1＋∫_-a~a (x+y2)/a^2ｄｘ－(x-y2)/a^2 dy2として解いたのですが、答えは-πになります。あっているでしょうか？0になりそうな気もするので、指摘をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分
線積分についてわからないところがあるので、教えてください。 XY平面状で原点Oから点A(1,1,0)に至る曲線y=x^3及び、 OからB(1,1,0)を経てAに至る折れ線に関するA→=xyi→＋xj→の線積分を求めよ という問題なのですが、 線積分の定義により、∫A→・dlなので、 A→・dl=(xyi＋xj)・(dxi＋dyj＋dzk)で=xydx＋xdy となりますよね？ ここでdy=3x^2dxなので、 上式=x^4dx＋3x^3dxとなりますよね？ でも、未だに線積分の積分区間が良く理解できないので、 ここで行き詰ってしまいます。 このあとはどうすればよいのでしょうか？ あと、折れ線のほうはどうすれば良いのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面スカラー場の線積分について
x-y 平面上の領域 D で関数 f(x,y) が定義され、D 内にある平面曲線 C を x = x(t), y = y(t) (a ≦ t ≦ b) ・・・・・・・ (#0) で表わすとき、この「曲線 C に沿った線積分」を線素 ds = √(dx^2 + dy^2) = √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt を使って ∫_C f(x,y) ds = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt ・・・・・・・ (#1) と定義する。 (#1)が「曲線 C に沿ってできる」x-y 平面に垂直なカーテン状の曲面の面積を表すことはわかりやすいのですが、ちょっとわかりにくいのが「曲線 C に沿ってできる x に関する」線積分 ∫_C f(x,y) dx = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) dx/dt dt ・・・・・・・ (#2) の定義です。もし、(#0) の曲線 C の y と x が一対一に対応していたら、(#2) の線積分は (#1) の曲面を x-z 平面に投影した図形の面積を表すと解釈してよいのでしょうか。 ベクトル解析の参考書を2冊持っているのですが、そんな説明はどちらの参考書にもないので心配なのです（笑）。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の問題
x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)にそって線積分 ∫c（x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^2）dx+（x^2・sinx-2ye^x）dyを計算せよ。 グリーンの定理を用いるとよい。 という問題です。 グリーンの定理を用いると∬D d{（x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^2）dx+（x^2・sinx-2ye^x）dy}dxdyのように式変形できると思うのですがここから先どのように考えてゆけばよいでしょうか？ 外微分を用いて計算してゆくのでしょうか？ 教科書に載っておらず、板書は写したもののグリーンの定理さえあまり理解できていません。 ネットでも調べてみたのですが、イマイチといった感じです。 外微分はなんとか調べて理解できました。 助けていただけると幸いです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
＞コーシーの積分定理は習っていますか？ まだ習ってないんです。 ただ、とりあえず、原点を中心とした半径１の円周にそう積分の計算方法が分かっていれば今の段階ではよいと先生に言われました。 ＞問の積分は次のように計算できます ∫sin(t)(dx/dt)dt+∫cos(t)(dy/dt)dt このようになるのはなぜでしょうか？ これ以外は理解できるのですが。 再度解答いただけますと幸いです。