線積分の問題

質問

Cを放物線y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線とするとき、線積分
∫c（-y/x^2+y^2）dx+（x/x^2+y^2）dyの値を求めよという問題です。

これを解きたいのですが、この範囲の内容は、教科書に載っておらず、先生が板書と口頭で説明したため、理解できていません。
原点を中心とした半径１の円周にそう積分に帰着させるとよいそうなのですが・・・

ネットで調べてはみたのですが、まず、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」これをどのように活用していけばよいのかすら分かりません。
線積分の考え方が分かる方、ご指南宜しくお願いします。

回答No.2

noname#154783

u(x,y) = x/(x^2 + y^2),
v(x,y) = -y/(x^2 + y^2)
と置くと，u，vは原点以外でコーシー-リーマンの方程式を満たすので，
z = x + iy と置いたとき，複素関数

f(z) = u + iv = 1/z

は原点以外で正則であり，

f(z) dz = (u dx - v dy) + i(v dx + u dy)

であるから，問題の線積分は
複素積分 ∮_C f(z) dz = ∮_C dz/z の虚部である．

で，原点中心，半径1の円を C(0,1) と表すと，
f(z)の正則性より

∮_C dz/z
= ∮_C(0,1) dz/z
= ∫_[0,2π] i exp(iθ) dθ/exp(iθ) (z = exp(iθ))
= i∫_[0,2π] dθ
= 2πi.

以上より，求める積分は

∮_C {-y/(x^2 + y^2) dx + x/(x^2 + y^2) dy}
= Im ∮_C dz/z
= 2π.

※ u と v の選び方を間違えると
f(z) = u + iv が正則にならないので注意．
念のためコーシー-リーマン条件を確認してください．

f(z)の正則性さえ確認できれば，
あとは添付した図のようなイメージです．

お礼

ご解答ありがとうございます。
複素関数は来年学習するようですので、今はまだ分かりませんが習ってからもう一度復習する際に参考にさせていただきます。