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球と円柱の共通部分の体積
「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」 この問題ののアプローチが分かりません。 どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。 分かる方、指南よろしくお願いいたします。
- exymezxy09
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体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦ｙ、でｚ方向に０→√(R^2-x^2-y^2)だから、 V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy 極座標変換すると、 x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ) y=rsinθ=(R/2)sin(2θ) r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、 ｒ：0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、 V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr =(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3 4倍して、 V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3 ={(2/3)π-(8/9)}R^3 (参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158
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- Ae610
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原点を中心とする半径Rの球；x^2 + y^2 + z^2 = R^2と半径R/2の円柱；x^2 + y^2≦Rxの共通部分の体積 極座標表示してx = rcosθ , y = rsinθ とおく。 所望の体積をVとすれば V = 2・∫[-π/2,π/2]dθ∫[0,Rcosθ]{√(R^2－r^2)}rdr で求まる・・・！
お礼
ご解答ありがとうございます！ 早速計算してみたいと思います。
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お礼
極座標変換がカギだったのですね。 参考ページも載せていただき助かりました。 どうも、ありがとうございました！