ストリータ・ヘルプス式

質問

ストリータ・ヘルプス式で、
ｄD/dt=K1L-K2Dから

ｄL/ｄｔ＝-K1L
(t=t0 の時、　L=L0)

を用いて、
D= {K1*L0*(e^-k1t-e~k2t)/ K2-K1}+Do*e^-k2t
(t=0 の時、　D=Do）
を導く方法を教えてください。
色々調べたのですが、途中過程が省略されていて、わからないので、
できるだけ詳しくお願いします…。

回答No.1

noname#185706

２番目の式から L(t) を求め、それを１番目の式に入れて D(t) を求めます。その際、

>(t=t0 の時、　L=L0)

の t0 を 0 とすると、求める解が得られます。（そもそも、解に t0 が入っていないのが不自然です。）
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dL/dt = - k1 L
より
L = c e^(- k1 t)。
ここで c は積分定数。

t = 0 で L = L0 であれば
L0 = c、
L = L0 e^(- k1 t)}。　(1)

これを１番目の方程式に入れると
dD/dt + k2 D = k1 L0 e^(- k1 t)。 (2)

斉次方程式（右辺 = 0）の解は
D = f e^(-k2 t)。　(3)
ここで f は積分定数。定数変化法により、f を変数とみて(2)へ代入すると
(df/dt) e^(- k2 t) - k2 f e^(- k2 t) + k2 f e^(- k2 t) = k1 L0 e^(- k1 t)。
整理して
df/dt = k1 L0 e^{(k2 - k1) t}。
これから
f = {(k1 L0) / (k2 - k1)} e^{(k2 - k1) t} + g。
ここで g は積分定数。(3)より
D = {(k1 L0) / (k2 - k1)} e^(- k1 t) + g e^(- k2 t)。　(4)
t = 0 で D = D0 なので
D0 = (k1 L0) / (k2 - k1) + g、
g = D0 - (k1 L0) / (k2 - k1)。
よって、(4)より
D = {(k1 L0) / (k2 - k1)} e^(- k1 t) + {D0 - (k1 L0) / (k2 -k1)} e^(- k2 t)
　= {(k1 L0) / (k2 - k1)} {e^(- k1 t) - e^(- k2 t)} + D0 e^(- k2 t)。