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【数学】ベクトルの問題です。
【問題】 ベクトル↑a≡(a1,a2)、↑b≡(b1,b2)が一次独立の為のa1,a2,b1,b2に関する条件を求める。但し、a1,a2,b1,b2は実数とする。 この問題の私なりの回答を載せます。出来るだけ細かいご指摘をお願いします。 【以下回答】 ベクトルの一次独立の定義より 「ベクトル↑a、↑bが一次独立である」⇔「k*↑a+t*↑b=0を満たす実数の組(k,t)が(0,0)以外にない」である。 よって、 (I)ベクトル↑a、↑bが一次独立の定義より k(a1,a2)+t(b1,b2)=0⇔(k*a1+t*b1,k*a2+t*b2)=0 したがって、 k*a1+t*b1=0・・・(1) k*a2+t*b2=0・・・(2) (1)*b2,(2)*b1より k*a1*b2+t*b1*b2=0・・・(1)’ k*a2*b1+t*b1*b2=0・・・(2)’ (1)’－(2)’ k(a1*b2-a2*b1)=0・・・(3) (1)*a2,(2)*a1より k*a1*a2+t*a2*b1=0・・・(1)'' k*a1*a2+t*a1*b2=0・・・(2)'' (2)''-(1)'' t(a1*b2-a2*b1)=0・・・(4) (3)、(4)より、a1*b2-a2*b1=0、または、k=t=0 このとき、a1*b2-a2*b1=0が成り立つと仮定すると a1*b2=a2*b1より、b1について場合分けをして考える。 （a)b1≠0であるとき、a2=a1*b2/b1となる。 ↑a≡(a1,a2)≡(a1,a1*b2/b1)≡a1/b2(b1,b2)≡a1/b1*↑b となり、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。 (b)b1=0であるとき、a1*b2=0であるので、a1=0またはb2=0となる。 b1=0、かつ、b2=0のとき、↑b≡↑0となるので、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。 また、b1=0、かつ、a1=0のとき、a2=0、または、b2=0であれば、ベクトル↑a、または↑bが↑0となる。 従って、a2≠0,b2≠0であるとき、↑a≡(0,a2)であり、↑b≡(0,b2)≡a2/b2(0,a2)≡a2/b2*↑aとなり一次従属となる。 よって、b1=0のとき、ベクトル↑aと↑bは一次従属となる。 (a)(b)は、a1,a2,b2について考えた時も同様であるので、a1*b2-a2*b1=0となる時、ベクトル↑a、↑bが一次独立である事に矛盾する。従って、ベクトル↑a,↑bが一次独立であるとき、a1*b2-a2*b1≠0より、a1*b2≠a2*b1となる。 （II)a1*b2-a2*b1≠0のとき、ベクトル↑a,↑bが一次独立である事を証明するために、 対偶である「ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、a1*b2-a2*b1=0となる。」ことを示す。 ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、k*↑a+t*↑b=0・・・（＊） について、少なくとも一つは０でない実数の組(k,t)が存在する。 すなわち、k≠0とするとき（＊）は、↑a=-t/k*↑bとなる。 ここで、D=-t/kとおくと、↑a=D*↑bが成り立つ。 よって、(a1,a2)=D(b1,b2)=(Db1,Db2)よりa1=Db1,a2=Db2となり a1*b2-a2*b1=D*b1*b2-D*b2*b1=D(b1*b2-b2*b1)=0となる。 よって、ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、a1*b2=a2*b1が成り立つ。 (I)(II)より、ベクトル↑a,↑bが一次独立となる為のa1,a2,b1,b2に関する条件はa1*b2-a2*b1≠0
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（a)b1≠0であるとき、a2=a1*b2/b1となる。 ↑a≡(a1,a2)≡(a1,a1*b2/b1)≡a1/b2(b1,b2)≡a1/b1*↑b となり、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。 --------------------------------------------- a1/b2(b1,b2)になぜなるのかわかりません。
- muturajcp
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ベクトル↑a,↑bが一次独立となる為のa1,a2,b1,b2に関する条件はa1*b2-a2*b1≠0 で正解です。 (I)（II)ともに正解だと思いますが、（II)は対偶ではなく直接証明できます。 （II)a1*b2-a2*b1≠0→↑a,↑bが一次独立の証明) x=t(k,t),(t(k,t)は(k,t)の転置) A= (a1,a2) (b1,b2) , k(a1,a2)+t(b1,b2)=0 とする ↓ ka1+tb1=0 ka2+tb2=0 ↓ (a1,b1)(k)=(0) (a2,b2)(t).(0) ↓ Ax=0 行列式 |A|=a1*b2-a2*b1≠0 だからAの逆行列 A^{-1}= |A|^{-1}* (b2,-b1) (-a2,a1) が存在し、Ax=0だから A^{-1}Ax=x=(k,t)=0=(0,0) k=t=0 ∴ ↑a,↑bが一次独立
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補足
すいません、記述間違いですね。 a1/b1(b1,b2)です。