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ベクトルの１次独立
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一次独立の条件＝一次従属でない条件 （ともに０ベクトルでない場合） 一次従属の条件 b/1 = c/a or c=ab よって ｃ が ab と 等しくないこと かつ a=b=0 でないこと が一次独立の条件
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- kumipapa
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1次独立であるという定義をもう一度見直してみましょう。 縦ベクトルは表記しにくいので、横ベクトルで失礼。 ベクトル (x→) = (1,a) と (y→) = (b,c) が一次独立である s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ s = t = 0 ですから、質問者さんのように t(1)+bt(2)=0 at(1)+ct(2)=0 とおいたら、この連立方程式が t(1)=0 かつ t(2) = 0 以外に解を持たないように a,b,c を定めれば良い。 行列表記して、 Ａ＝｜１ ｂ｜ ｜ａ ｃ｜ Ａｔ = Ｏ が(t→) = 0 以外の解を持たない条件は、Ａが逆行列を持つ c - ab ≠ 0 となります。 ２本のベクトルが１次独立って、先にも書いたように s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ x = t = 0 ですから、逆に１次従属ならば、(x→) = α(y→), (y→)=β(x→)とかける。つまり、２本のベクトルが平行ならば1次従属、平行でなければ1次独立。先に戻って、(1,a) と (b,c) が１次独立ならばこれらは平行であってはいけないので、c ≠ ab がその条件。a,bは0でもOKです。例えば (1,a)=(1,0), (b,c)=(0,1) のとき、これらは１次独立。
お礼
詳しい解説ありがとうございます。 1次独立について自分の中の理解不足を補うことができました。
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お礼
>一次独立の条件＝一次従属でない条件 この考え方でよく理解することができました。ありがとうございました。