数式遊びで見つけた不思議な関係式とは？

質問

• 数式遊びをしていたら、cos20°=(cos100°)^3*cos80°+(sin100°)^3*sin80°という、加法定理に似た式が出てきました。また、sin20°=2｛(sin100°)^3*cos80°-(cos100°)^3*sin80°｝も出てきました。このような式は一般的ではなく、ある特定の関係にあるときに成り立つようです。さらに、sin（α+β）=2｛(sinα)^3*cosβ-(cosα)^3*sinβ｝という関係式を考えることもできます。誰かこの不思議な関係式について教えてください。
• cos20°=(cos100°)^3*cos80°+(sin100°)^3*sin80°という式と、sin20°=2｛(sin100°)^3*cos80°-(cos100°)^3*sin80°｝という式が数式遊びで見つかりました。これらの式は一般的な加法定理ではなく、特定の条件下で成り立つものです。さらに、sin（α+β）=2｛(sinα)^3*cosβ-(cosα)^3*sinβ｝という関係式も考えられます。この不思議な関係式について詳しく知りたいです。
• 数式遊びの中で興味深い関係式が見つかりました。cos20°=(cos100°)^3*cos80°+(sin100°)^3*sin80°とsin20°=2｛(sin100°)^3*cos80°-(cos100°)^3*sin80°｝という式です。これらの式は特定の条件下で成り立つものであり、一般的な加法定理のようではありません。さらに、sin（α+β）=2｛(sinα)^3*cosβ-(cosα)^3*sinβ｝という関係式についても考えられます。どなたかこれらの関係式について教えてください。

回答No.1

orcus0930

そもそも，α，βに対称性がないので，一般的に成り立たないことは簡単に示せる．

手を動かしてもいいが，めんどくさいので，WolframAlphaに式を突っ込んでみた．

cos（α-β）-(cosα)^3　*cosβ-(sinα)^3　*sinβ
= sinα cos α sin(α＋β)
となるので，等号成立の条件は簡単に導けますよね？

他のものも同様にWolframAlphaで式を簡単にすればほぼ議論は終了

お礼

いや～ひどい回答ですねぇ～

ありがとうございました！

補足

WolframAlphaではなく、英知求めます！！