三角関数の加法定理

質問

三角関数の加法定理の証明についてよく分かりません。
学校の教科書では幾何的な説明を使った証明がのっています。
図がないので説明しづらいのですが、
単位円O、円上の第1象限に点A（cosα sinα）
同じく第4象限に点B（cos-β sin-β）がある。
これを余弦定理と2点間の距離の公式を使って式をたて、加法定理の式となります。
cos(α+β)=cosαcosβーsinαsinβ
確かに点Aが第1象限、点Bが第4象限の点のときはこの式が成り立つのは分かります。
がどんな角度でも成り立つというのが理解できません。
幾何的に説明しているのはこのケースだけだと思うので。

なぜこの証明でどんな角度についても言えるのでしょうか？
かなり小学生の頃は天童のはずだったんですがさっぱりです。
分かりやすくよろしくお願いします！

回答No.3

velvet-rope

No.1さんのURLを拝見したのですが、三角関数の加法定理を証明する手法は、その2が主流ではないかと考えます。
以前三角関数の加法定理を証明させる問題が、東京大学の入試問題で出題されましたが、その模範解答もその2の方法だったと思います。

その1(とは書かれていませんでしたが)の方法ではα、βがπの整数倍の時に成り立つとは言えないと思うのです。角度を拡張しても、
　0<mπ+α<π、0<nπ+β<π
で考慮しなければならないのではないでしょうか。
この理由で、私は高校生のときに見向きもしなかった証明方法です。

お礼

皆さんは僕と同じような疑問はお持ちにならなかったんですか。
一度気になると目をつぶってこの公式を使いたくないので

納得する方法教えてください！！

回答No.2

N64

#1さんの参考URL、拝見しました。加法定理の証明はこんなにややこしいのですね。私は、暗記が苦手で試験の直前（0秒前）に必死で記憶しました。もし忘れてしまったら、とても導出できないです。かなり後になって、オイラーの公式や、e^(ix) = cos x + i sin x という公式を覚えてからは、もっぱらこの公式から導いて確認するようにしました。
たしか、e^(i(x+y))=e^(ix) x e^(iy) という関係も使いました。

回答No.1

rtz

要は、何で
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankakukansuu/kahouteiri.html
こんなのだけで、残りの分を証明しなくていいかってことですよね。

αやβに90度、180度を足したり引いたり、もしくは90度や180度から引いたりして、
基本形の角度まで落とすことが出来るからだと思うのですが。
もちろんsinやcosは入れ替わるかもしれませんが、それは入れ替わった方でで考えればいいのではないかと。

何となく思いついただけなので間違ってるかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます！
実にそういうことです！！
なんで残りの証明についての説明はほったらかしなのかと。
最初にα・βの条件を設定しているのに、証明終わるとその条件のみだけでなく一般的に成り立つことになっています。
そこが納得いかない所でした。

直感で分かるためにも問題解いてまず慣れたいと思います！
証明方法も参考の２の方しか知りませんでした。

１の方がスマートですね
ありがとうございました！