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n倍角の証明
sin4α…sin(2α+2α),sin(α+3α) sin5α…sin(α+4α),sin(2α+3α),……。 上の式を証明してくださぃ。 私もやってみたんですが、sin,cos共に3倍角までしか出来ませんでした。 できればsin,cos,tan&4倍角,5倍角,6倍角,…と出来る限り証明を出して頂ければ嬉しいです。 1つだけでも良いので式の証明をお願いします。
- clover0204
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証明というより、単に計算力の力技でしょう。 ちょっぴり数学的に表すなら、オイラーの公式と二項展開を使う方法です。 オイラーの公式 exp(iα) = cosα + i*sinα iは虚数記号 ｛exp(iα)｝＾ｎ = exp(i*nα) = cos(nα) + i*sin(nα) = (cosα + i*sinα)＾ｎ =ΣnCk*cos＾k(α) ｛i*sinα｝＾(n-k) =ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α) nCk = n!/{(n-k)!*k!} です。 Σ（和）はk=0～n で取ります。 これから cos(nα) = Re [ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α)] sin(nα) = Im [ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α)] Reは右辺の実数部、Imは右辺の虚数部です。 (i)^(n-k) に注意して、計算してみてください。
その他の回答 (2)
n倍角の証明と言うけれど、質問の意味がわかりませんな。 何を証明するのですか？
- Tacosan
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「上の式を証明してくださぃ」とか書いてるけど, これは「証明する」ようなものじゃない. 「私もやってみたんですが、sin,cos共に3倍角までしか出来ませんでした。」とはどういうこと? 「3倍角」ではどんなことをしたの? で, 「4倍角」以降ではどのように計算してどこで詰ってる?
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補足
sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα sin2α=2sinαcosα、cos2α=1-2sin^2αより sin3α=2sinαcosα×cosα+(1-2sin^2α)sinα =2sinαcos^2α+sinα-2sin^3α cos^2α=1-sin^2αより =2sinα(1-sin^2α)+sinα-2sin^3α =2sinα-2sin^3α+sinα-2sin^3α =3sinα-4sin^3α ↑こんな感じに証明を出して欲しかったんですが…。 すみません_(._.)_