加法定理を使っての証明

質問

三角関数で、加法定理を使って証明するのに苦戦しています。。。。

1)cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

これを自分なりにといてみたのですが、

加法公式（+の方）で、αβを共にθとすると、

tan2θ=tan(θ+θ)

tanθ+tanθ
= ------------
1-tanθtanθ

2tanθ
= ---------
1-tan^2θ

２倍角の公式より、

cos 2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
=(1 - sin^2 θ) - sin^2 θ
= 1 - 2sin^2 θ

となり、

cos2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
= cos^2 θ - (1 - cos^2 θ)
= 2cos^2 θ - 1

sin^2 θ + cos^2 θ = 1　だから

cos 2θ = cos(θ + θ)
= cos θ cos θ - sin θ sin θ
= cos^2 θ - sin^2 θ.

から

sin 2θ = sin(θ + θ)
= sin θ cos θ + cos θ sin θ
= 2 sin θ cos θ.

となる。

何かおかしいと思うんです。

教えてもらえるとうれしいです。

よろしくお願いします。

回答No.5

nuubou · ベストアンサー

オイラーの公式はｅ＾（ｉ・θ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｉ・ｓｉｎ（θ）だから
ｃｏｓ（α＋β）＋ｉ・ｓｉｎ（α＋β）＝ｅ＾（ｉ・（α＋β））＝
ｅ＾（ｉ・α）・ｅ＾（ｉ・β）＝（ｃｏｓ（α）＋ｉ・ｓｉｎ（α））・（ｃｏｓ（β）＋ｉ・ｓｉｎ（β））＝
ｃｏｓ（α）・ｃｏｓ（β）－ｓｉｎ（α）・ｓｉｎ（β）＋
ｉ・（ｓｉｎ（α）・ｃｏｓ（β）＋ｃｏｓ（α）・ｓｉｎ（β））
だから
ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓ（α）・ｃｏｓ（β）－ｓｉｎ（α）・ｓｉｎ（β）
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎ（α）・ｃｏｓ（β）＋ｃｏｓ（α）・ｓｉｎ（β）

「オイラーの公式」と「複素数の性質」と「指数の性質」を知っている人は「加法定理」を覚えなくてもいいんですよ
あなたももう少し勉強すると学習が楽になります

回答No.4

nuubou

オイラーの公式は知らないのですか？

お礼

オイラーの公式は知らないんです。。。
ネット上で見ていると、のっていました。。
cos(α+β)の公式に当てはめてがんばっていたらできました。。。
いろいろと、ありがとうございました。
機会がありましたら、またよろしくお願いします。

回答No.3

19san

それならやはり下の方の言うとおりでいいのでは？
あなた自身もちゃんと解いているようですが。

お礼

はい。あの方のいっていた通りでした。
いろいろとご迷惑かけてすいませんでした。
＆アドバイスありがとうございます！！
また機会がありましたらよろしくお願いします☆

回答No.2

sssohei

加法定理のcos(α+β)のにほりこめば一発だと思うのですが、、、つかったらいけないんでしょうか？

お礼

使うことは可能です。
あれから教科書＆参考書とにらめっこしてようやく完成しました☆
cos(α+β)の式を使って。。。。。
いろいろとありがとうございました。
また、機会があればよろしくお願いします。

回答No.1

19san

質問の意図がよくわからないのですが…。
結局加法定理を用いて何を証明したいのですか?

補足

ややこしくなってすいません。。。。。。。

cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

上記の式を、加法定理を使って証明したいんですが・・・・・・