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加法定理を使っての証明

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  • 質問No.201929
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お礼率 60% (3/5)

三角関数で、加法定理を使って証明するのに苦戦しています。。。。

1)cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

これを自分なりにといてみたのですが、

加法公式(+の方)で、αβを共にθとすると、

tan2θ=tan(θ+θ)

tanθ+tanθ
= ------------
1-tanθtanθ

2tanθ
= ---------
1-tan^2θ

2倍角の公式より、

cos 2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
=(1 - sin^2 θ) - sin^2 θ
= 1 - 2sin^2 θ

となり、

cos2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
= cos^2 θ - (1 - cos^2 θ)
= 2cos^2 θ - 1

sin^2 θ + cos^2 θ = 1 だから

cos 2θ = cos(θ + θ)
= cos θ cos θ - sin θ sin θ
= cos^2 θ - sin^2 θ.

から

sin 2θ = sin(θ + θ)
= sin θ cos θ + cos θ sin θ
= 2 sin θ cos θ.

となる。

何かおかしいと思うんです。

教えてもらえるとうれしいです。

よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

オイラーの公式はe^(i・θ)=cos(θ)+i・sin(θ)だから
cos(α+β)+i・sin(α+β)=e^(i・(α+β))=
e^(i・α)・e^(i・β)=(cos(α)+i・sin(α))・(cos(β)+i・sin(β))=
cos(α)・cos(β)-sin(α)・sin(β)+
i・(sin(α)・cos(β)+cos(α)・sin(β))
だから
cos(α+β)=cos(α)・cos(β)-sin(α)・sin(β)
sin(α+β)=sin(α)・cos(β)+cos(α)・sin(β)

「オイラーの公式」と「複素数の性質」と「指数の性質」を知っている人は「加法定理」を覚えなくてもいいんですよ
あなたももう少し勉強すると学習が楽になります
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 19% (42/215)

質問の意図がよくわからないのですが…。 結局加法定理を用いて何を証明したいのですか? ...続きを読む
質問の意図がよくわからないのですが…。
結局加法定理を用いて何を証明したいのですか?
補足コメント
junpei_mie

お礼率 60% (3/5)

ややこしくなってすいません。。。。。。。

cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

上記の式を、加法定理を使って証明したいんですが・・・・・・
投稿日時 - 2002-01-20 18:36:35


  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

加法定理のcos(α+β)のにほりこめば一発だと思うのですが、、、つかったらいけないんでしょうか? ...続きを読む
加法定理のcos(α+β)のにほりこめば一発だと思うのですが、、、つかったらいけないんでしょうか?
お礼コメント
junpei_mie

お礼率 60% (3/5)

使うことは可能です。
あれから教科書&参考書とにらめっこしてようやく完成しました☆
cos(α+β)の式を使って。。。。。
いろいろとありがとうございました。
また、機会があればよろしくお願いします。
投稿日時 - 2002-01-21 12:34:40
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 19% (42/215)

それならやはり下の方の言うとおりでいいのでは? あなた自身もちゃんと解いているようですが。 ...続きを読む
それならやはり下の方の言うとおりでいいのでは?
あなた自身もちゃんと解いているようですが。
お礼コメント
junpei_mie

お礼率 60% (3/5)

はい。あの方のいっていた通りでした。
いろいろとご迷惑かけてすいませんでした。
&アドバイスありがとうございます!!
また機会がありましたらよろしくお願いします☆
投稿日時 - 2002-01-21 12:37:42
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

オイラーの公式は知らないのですか? ...続きを読む
オイラーの公式は知らないのですか?
お礼コメント
junpei_mie

お礼率 60% (3/5)

オイラーの公式は知らないんです。。。
ネット上で見ていると、のっていました。。
cos(α+β)の公式に当てはめてがんばっていたらできました。。。
いろいろと、ありがとうございました。
機会がありましたら、またよろしくお願いします。
投稿日時 - 2002-01-21 12:39:47
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