統計学（交互作用に関して）

質問

以下、二元配置の分散分析に関しての話です。
一般に母分散の推定は
σハット＾2＝（データ－○）＾2／N－1
※○＝分布の平均値
なので、「平均が○で分散がσハット＾2の分布だな」とイメージできます。
しかし、交互作用の母分散推定に出てくる式は、
σハット＾2＝（平均値－○）×（平均値－△）＋（平均値－×）×…／自由度
※○△×＝各水準の平均値
なので、「平均値がたくさんあって、分散は同一（σハット＾2）の分布？」とイメージできません。
質問1：交互作用の母分散推定に出てくる分布は具体的にイメージできる分布ですか？
質問2：なぜ、その式の自由度は（要因1の水準数－1）×（要因2の水準数－1）なのでしょうか？（わたしは、自由度については「全体の数は決まっていて、4つのスペースがある場合、3つが決まると、もう１つは自由に決められない」といった入門書の例で理解しているのですが、さすがに、この場合はこれでは説明がつかないでしょうか？）
以上、宜しくお願い致します。

回答No.1

yardsticks · ベストアンサー

質問１の回答：
　二元配置と母分散の推定のつながりが、いまいち理解できません。二元配置は基本的に
母平均の違いを見るものです。母分散が水準組合せで異なるかどうかを見たいのでしょうか？
ちなみに，因子Ａの平方和を自由度で割った平均平方は，母分散の推定量ではありません。
Ａの各水準での平均値と全平均との差をまとめたものです。
交互作用とは，因子ＡとＢの水準組合せにおける平均から，因子Ａ単独による影響，因子Ｂ単独の影響を取り除いても、さらに水準組みわせ間で違いがあることです。

質問２の回答：
　一元配置を考えると、因子Ａの水準数が a 個あるとき、Ａの自由度は a-1 です。基本的に、水準間で母平均に差があるかどうかをみるので、水準数が a 個あるとき、母平均の差の数は a-1 個です。これが自由度です。このとき、第１水準の値から出発したとすると，a-1 個の母平均の差を知っておけば，どの水準の母平均も推定できます。これが重要です。
　二元配置に戻って、交互作用は水準組合せ間で母平均の差について考えています。
まず初めに，因子Ｂを第１水準に固定して、(1,1),(2,1),...,(a,1)間の a-1 個の母平均の差を知れば、(1,1)の平均値と a-1 個の母平均の差で他の水準組みわせでの母平均の値を推定することができます。同様にして、因子Ａを第１水準に固定して、(1,1),(1,2),...,(1,b)間の b-1 個の母平均の差を知れば、(1,1)の平均値とその差で他の水準組合せでの母平均の値を知ることができます。交互作用がない場合は、これら a-1個の差とb-1個の差、(1,1)の平均値でもって他のすべての水準組合せの母平均を一応、推定できます。
交互作用があるとき、誤差の範囲内で推定が当たる水準組合せは、(1,1),(2,1),...,(a,1),(1,2),...,(1,b)の a+b-1 個です。残りの ab - (a+b-1) = ab-a-(b-1) = a(b-1)-(b-1)
= (a-1)(b-1) 個の水準組合せは誤差の範囲を超えて外れます。したがって、(a-1)(b-1)個の水準組合せについては特別に外した分の値を知る必要があるわけです。よって、交互作用があるとき、すべての水準組合せの母平均を良く推定するためには、(a-1)(b-1)個の交互作用を知る必要があるわけで、これが交互作用の自由度になっているわけです。

お礼

詳細な解説有難うございます。特に質問2の回答は読み応えがあり、理解に努めております。尚、おそらく質問に具体性を欠いていたので、具体例を追加した質問を立てました。よろしければ、ご確認下さい。