電場と電位の関係式について

質問

図のように点P(位置ベクトルr)と点Q(位置ベクトルr+Δs)の電位差ΔV=V_Q-V_P(<0)は，単位正電荷が点Qから点Pまで-Δsだけ変異するときに電場Eがする仕事-E(↑)・Δs(↑)=-E_tΔsに等しい．(-E_tはΔs(↑)方向の成分)と表されるので，電場Eの変位Δs の方向成分E_tはE_t=-ΔV/Δsである．

ここからE(↑)=-gradVが導かれるのはわかりますが，この話の進め方に疑問があります．

まず，本にも書いてあるようにΔVは負ですよね．
そして単位正電荷を点Qから点Pまで持っていくからベクトルΔsの逆方向に進むわけですから-Δsになり，このときする仕事はE(↑)・(-Δs(↑))になるというのはわかりますが，なぜわざわざΔVを負にとるのでしょうか．
E_t=-ΔV/Δs(>0)ですよね．
つまり，点Pの電位をV＋ΔV,点Qの電位をVというように，この本とは違う電位のとり方をしてみます．
ΔV＝V_P-V_Q(>0)となります．このとき点Pから点Qへと単位正電荷を変位させたとき，仕事はE(↑)・Δs(↑)=E_tΔsとなり，E_t=ΔV/Δs(>0)となりますよね・・・．
ではE(↑)=gradVとなるのではないでしょうか．

一種の公式であるE(↑)=-gradVにマイナスがつく理由がよくわかりません．
これらのことについて詳しく教えていただけないでしょうか．
よろしくお願いします．

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

最後の３行だけにお答えします。

＞＞＞一種の公式であるE(↑)=-gradVにマイナスがつく理由がよくわかりません．

Ｖ（電位）は、地図でいえば標高です。山を登る方向がプラスです。
一方、Ｅ（電界）は、地図でいえば等高線の狭さ、つまり、坂の勾配です。
物体を頂上に近づこうとさせると、上り坂に妨げられます。
また、坂の途中に物体をそっとおけば、坂道を下る方向に転がります。

これは、（山頂に）固定されたプラスの電荷に対して、ほかのプラスの電荷を近づけたときに、斥力を受けることと同じです。

つまり、プラス同士だと斥力が働くというのが、マイナス符号の意味です。
坂を登る進行方向と、転がり落とそうとされる方向は逆方向ですよね？

お礼

回答をしていただきありがとうございました。

回答No.2

hitokotonusi

力学の内容をおぼえていますか？

位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）は物体を動かしたときにされた仕事の符号を変えたもので定義します。式で書けば位置エネルギーをＵとして

U(B)-U(A) = - W(B,A) = -∫[A->B] F・dx （F、ｄｘはベクトル）

一方、運動エネルギーKはその差が仕事に等しいので

K(B)-K(A) = W(B,A)

ポテンシャルにマイナスをつけて定義したおかげで、上の二つの関係から

K(B)-K(A) = W(B,A) = - [ U(B)-U(A) ] = -U(B) + U(A)

すなわち

K(A) + U(A) = K(B) + U(B)

という、力学的エネルギー保存則が使えるようになるわけです。

ここまでよろしいでしょうか？

＞E(↑)=-gradV

という関係でマイナス符号をつけるのは上のポテンシャルの定義に従ったものです。

上の位置エネルギーの定義を微分することで

F = - grad U

が導かれます。

電場Eの中に電荷qがおかれた場合qEはその電荷に働く力、qVは位置のエネルギーになりますから、両辺にｑをかけた

ｑE(↑)=-grad(qV)

はまさに

F = - grad U

という関係にほかなりません。

つまり、マイナス符号は力学で習う位置エネルギーの定義と合致させるために必要だということです。

お礼

回答をしていただきありがとうございました。