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ハイパスフィルタの出力電圧の導出
ハイパスフィルタ(CR直列回路)にVsinωtの交流電圧が加わっているとき,抵抗Rの両端の電圧は ( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt+φ) となるそうなのですが,この導出過程がどうしてもわかりません. どなたか導出過程を教えていただけないでしょうか.
- mirabakesso24
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- inara1
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電気屋さんはANo.2の計算法を使いますが、まともに計算するのならANo.1さんの方法です。ANo.1さんの微分方程式を使った解法を添付します(添付図の式(3)の下の微分方程式を解くところは省略しました)。添付図の続きは以下の通りです。 ここで ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = A*sin( ω*t + Φ ) ただし -π≦Φ≦π --- (5) とおくと、三角関数の和の公式から A*sin( ω*t + Φ ) = A*sin( ω*t )*cos(Φ) + A*cos( ω*t )*sin(Φ) --- (6) なので、(5), (6) から { ω*C*R - A*cos(Φ) }*sin( ω*t ) + { 1 - A*sin(Φ) }*cos(Φ) = 0 これが 任意の t について成り立つためには ω*C*R = A*cos(Φ) --- (7) 1 = A*sin(Φ) --- (8) が同時に成立たなければならない。 式(7)の両辺の2乗と式(8)の両辺の2乗を足し合わせても等号が成り立つので ( ω*C*R )^2 + 1 = A^2*{ cos(Φ)^2 + sin(Φ)^2 } = A^2 → A = ±√{ ( ω*C*R )^2 + 1 } 式(7)で Φ = 0 のとき cos(Φ) = 1 なので、A = ω*C*R ≧ 0 となるから、A は正の値となる。したがって A = √{ ( ω*C*R )^2 + 1 } --- (9) 一方、式(8)/式(7) も等号が成り立つので 1/( ω*C*R ) = tan(Φ) → Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) } --- arctan は tan の逆関数 --- (10) 式(5), (9), (10) から ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = √{ ( ω*C*R )^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) --- (11) ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) } したがって、式(4), (11) から Vout = V0*ω*C*R*√{ ( ω*C*R )^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) /{ 1 + ( ω*C*R )^2 } = V0*ω*C*R*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + ( ω*C*R )^2 } = V0*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + 1/( ω*C*R )^2 } ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }
- 178-tall
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>( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt+φ) 定常状態解ですね。 振幅が V/√(1+(1/RCω)^2) 、位相ずれがφ。 インピーダンスでの分圧を勘定するのがふつう。 まず、CR 直列回路を流れる電流 = I = V/{R + 1/(jωC)} なので、 抵抗 R の両端電圧の振幅 = R*I = V*R/{R + 1/(jωC)} = V/{1 + 1/(jωCR)} …(1) あとは、振幅・位相の勘定。 (1) の絶対値 = V/√{1 + (1/ωCR)^2} (1) の移相 = -arctan[-(1/ωCR)] = arctan(1/ωCR) …かな?
- Tacosan
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CR 直列だから電流が等しいとして微分方程式を解けばいいだけでは?
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