無限の存在と定義について
- 無限の存在とは数学的に定義可能であっても必ずしも存在するとは限らないことがある。
- 無限の概念は数学でよく使用されるが、具体的な存在が保証されているわけではない。
- 数学的に定義可能なものはすべて存在すると考えるわけではなく、存在という概念は厳密な定義が求められる。
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無限は存在しますかそれとも定義できるだけですか？
数学のカテゴリーが良いのか国語のカテゴリーが良いのか迷ったのですが数学の方からご意見を伺いたいと思います。 「無限」に対して「存在する」という術語を使用できますか？ 例えばユークリッド幾何学で「平行な二本の直線の交点は無限遠にある」という命題は「平行な二本の直線に交点は無い」という命題に置き換えられるのですよね。 二つの命題が同値であることから、「無限遠」は「無い」ということが導き出されると思います。 また、自然数全体の集合を概念的に定義することができますが、それが存在するかと言うと、存在しないと言うほうが現実的な気がします。 つまり、数学的に定義可能なものであっても必ずしも存在するとは限らないと言ってよいのでしょうか？ それとも、数学的に定義可能であるものはすべて存在すると考えるのが普通なのでしょうか？ もうひとつ別の表現をすると、部分集合の補集合が空集合だっときには、この空集合は「存在する」と表現しても良いのでしょうか？ それとも空集合の定義には、それが存在しないということを含んでいるのでしょうか？ 存在という言葉の定義の話しなのかもしれませんが、是非、数学の方にご教示いただけると幸いです。
- Mokuzo100nenn
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質問者が選んだベストアンサー
存在という言葉の定義の問題ですね。 数学における存在の意味については、 質問氏も書いておられるように、 矛盾なく定義できるものは 存在すると考えても構わない… というのが標準的な考える方だと思います。 敢えて存在を仮定しないことも可能なので、 定義できれば存在する…ではなく、 定義できれば存在を仮定してもよい… ということになります。 後半部分の空集合については、 存在しないのは空集合の元であって、 元が存在しない集合であるところの 空集合は存在します。 中身は無いが容れ物はある…という訳です。
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- k_kota
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数学と言うのは概念の世界の学問です。 要するに、定義して適切に使えるなら何が存在してもOKと言うことです。 そうなると概念としても無限は存在するし、利用もされていますので、存在すると言っていいでしょう。 現実世界にあるのかと言えば難しいですが、実用上使える場面は多いです。
お礼
回答ありがとうございます。 数学と言うのは概念の世界の学問で、そこでのみ成立する概念（無限など）を無分別に自然界の学問（宇宙物理学など）に持ちこんでしまう事が有りますよね。 とくに、怪しげな信仰宗教などです。 今後とも、概念の世界で成立するものと、自然界で存在するものに対して分別をもって生きてゆきたいと思います。 ありがとうございました。
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